《圆中的计算问题》教案
教学目标
1.了解扇形的概念，理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．
2.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L =2
180
n R π和扇形面积S 扇=2
360
n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目． 教学重难点
1．重点：n °的圆心角所对的弧长L =180n R π，扇形面积S 扇=2
360
n R π及其它们的应用． 2．难点：两个公式的应用．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．圆的周长公式是什么？
2．圆的面积公式是什么？
3．什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C =2πR
（2）圆的面积S 图=πR 2
（3）弧长就是圆的一部分．
二、探索新知
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则：
1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
2．1°的圆心角所对的弧长是_______．
3．2°的圆心角所对的弧长是_______．
4．4°的圆心角所对的弧长是_______．
……
5．n °的圆心角所对的弧长是_______．
（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
n °的圆心角所对的弧长为180
n R π. 1.一滑轮装置如图，滑轮的半径R =10cm ，当重物上升15.7cm 时，问滑轮的一条半径OA
绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度？（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)
解：设半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转n °，则
15.7180=n R π 解方程，得
n ≈90.
答：滑轮按逆时针方向旋转的角度约为90°.
2.古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点S 和点A 分别表示埃及的赛伊尼和亚历！大两地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5000希腊里（1希腊里≈158.5m)．当太阳光线在赛伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α,实际测得α是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？
解：因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角∠AOS =α=7.2°.
设地球的周长（即⊙O 的周长）为C ，则
36050,7.2==C
AS 50505000∴==⨯C AS
=250000(希腊里)
≈39625(km)
答：地球的周长约为39625km .
我们知道，地球周长约为40000m ．可见，2000前，埃拉托塞尼的估算结果已经相当精确了.
问题：（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m 的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示：
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A （柱子）为圆心，5m 为半径的圆的面积．
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域应该是n °圆心角的两个半径的n °圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图：
.c n ︒
像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （小黑板），请同学们结合圆心面积S =πR 2的公式，独立完成下题：
1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．
2．设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．
3．设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．
4．设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．
……
5．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．
老师检察学生练习情况并点评
1．360
2．S 扇形=
1360πR 2 3．S 扇形=2360
πR 2 4．S 扇形=2
5360
R π 5．S 扇形=2
360
n R π 因此：在半径为R 的圆中，圆心角n °的扇形：S 扇形=2
360
n R π.
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
圆锥用表示它的轴的字母表示.
如图，沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．
3.如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm ，母线为50cm ．在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积．
解：烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图，设该扇形的面积为S .
在铁皮上画一个扇形，除需知道扇形半径l 外，还需知道扇形圆心角α．由刚学过的弧长计算方法，可得：
22360=r l α
ππ
4036036028850
===r l ∴⨯⨯α 222288502000(cm )360360
⨯===S l α
πππ 三、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．n °的圆心角所对的弧长L =180
n R π.
2．扇形的概念．
3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
2 360 n R
.
4．运用以上内容，解决具体问题．。