2015-2016学年甘肃省天水市甘谷一中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=（）A．{2}B．{1，2，3}C．{1，3}D．{2，3}2．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台3．（5.00分）若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．D．4．（5.00分）圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为（）A．4πB．C．8πD．5．（5.00分）用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A．12 B．24 C．D．6．（5.00分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣6y=0的位置关系（）A．相交B．相切C．外离D．内含7．（5.00分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=08．（5.00分）函数的定义域是：（）A．[1，+∞）B．C． D．9．（5.00分）下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=（x﹣1）2 C．y=21﹣x D．y=lg（x+3）10．（5.00分）设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若l⊥β，α⊥β，则l∥α④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④11．（5.00分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球O的体积为，则球心O 到正方体的一个面ABCD的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5.00分）已知减函数y=f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，则不等式f（1﹣x）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5.00分）直线x+y﹣2=0与两条坐标轴围成的三角形面积为．14．（5.00分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为．15．（5.00分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=．16．（5.00分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）集合A={x|2x﹣1≥1}，B={x|log2（3﹣x）＜2}，求A∩B，A∪B，（∁R A）∪（∁R B）．18．（12.00分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅲ）一束光线从B点射向（Ⅱ）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．19．（12.00分）如图，已知AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，D是线段PA的中点，E是线段AC上的一点．求证：（Ⅰ）若E为线段AC中点，则DE∥平面PBC；（Ⅱ）无论E在AC何处，都有BC⊥DE．20．（12.00分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，m∈R．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．21．（12.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=，CC1=1，M为线段AB的中点．（1）求异面直线DD1与MC1所成的角；（2）求直线MC1与平面BB1C1C所成的角；（3）求三棱锥C﹣MC1D1的体积．22．（12.00分）已知点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足．（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（Ⅱ）若点Q在直线l1：3x﹣4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．2015-2016学年甘肃省天水市甘谷一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=（）A．{2}B．{1，2，3}C．{1，3}D．{2，3}【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故选：B．2．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选：D．3．（5.00分）若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，∴，解得a=﹣3．故选：B．4．（5.00分）圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为（）A．4πB．C．8πD．【解答】解：圆柱的侧面积展开图的面积S=2π×2×2=8π，故选：C．5．（5.00分）用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A．12 B．24 C．D．【解答】解：根据斜二测画法的规则可知，矩形的直观图为平行四边形，其中O'C'=OC=6，O'A'=OA=2，∠A'O'C'=45°，'=2×∴平行四边形的面积S=2S△O'A'C=，故选：C．6．（5.00分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣6y=0的位置关系（）A．相交B．相切C．外离D．内含【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣6y=0，∴圆O1：（x﹣1）2+y2=1和圆O2：x2+（y﹣3）2=9，即圆O1的圆心为（1，0），半径为1，圆O2的圆心为（0，3），半径为3，两个圆的圆心距为：=，∴3﹣1=2＜＜3+1，∴两个圆的位置关系是相交．故选：A．7．（5.00分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0【解答】解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选：D．8．（5.00分）函数的定义域是：（）A．[1，+∞）B．C． D．【解答】解：要使函数有意义：≥0，即：可得0＜3x﹣2≤1解得x∈故选：D．9．（5.00分）下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=（x﹣1）2 C．y=21﹣x D．y=lg（x+3）【解答】解：A中，在（﹣1，+∞）和（﹣∞，﹣1）上单调递减，故在（0，+∞）上也单调递减，排除A；B中，y=（x﹣1）2在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，故在（0，+∞）上不单调，排除B；y=21﹣x在R上单调递减，排除C；y=lg（x+3）在（﹣3，+∞）上递增，故在（0，+∞）上也单调递增，故选：D．10．（5.00分）设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若l⊥β，α⊥β，则l∥α④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n，是直线和平面垂直的判定，故①正确；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ，推出α∥γ，满足直线和平面垂直的判定，故②正确；③若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，故③不正确．④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β中，m与n可能相交或异面．考虑长方体的顶点，α与β可以相交．故④不正确．故选：A．11．（5.00分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球O的体积为，则球心O 到正方体的一个面ABCD的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设球O的半径为R，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，∴正方体的对角线长等于球O的直径，可得2R=．又∵球O的体积为，∴V==，解得R=，由此可得，解得a=2．∵球O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，∴点O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，可得点O到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，即d=．因此，球心O到正方体的一个面ABCD的距离等于1．故选：A．12．（5.00分）已知减函数y=f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，则不等式f（1﹣x）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：∵y=f（x﹣1）是奇函数，∴其图象关于原点对称，则y=f（x）的图象关于（﹣1，0）对称，即f（﹣1）=0，∵y=f（x﹣1）是减函数，∴y=f（x）也是减函数，∴f（1﹣x）＞0，即f（1﹣x）＞f（﹣1），由f（x）递减，得1﹣x＜﹣1，解得x＞2，∴f（1﹣x）＞0的解集为（2，+∞），故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5.00分）直线x+y﹣2=0与两条坐标轴围成的三角形面积为2．【解答】解：令x=0，解得y=2；令y=0，解得x=2．∴直线x+y﹣2=0与两条坐标轴围成的三角形面积S==2．故答案为：2．14．（5.00分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．【解答】解：直线与圆相切，设圆心坐标为（a，0），则圆方程为：（x﹣a）2+y2=4，∵圆心与切点连线必垂直于切线，根据点与直线距离公式，得d=R=2=，解得a=2或a=﹣，（因圆心在正半轴，不符合舍去）∴a=2，∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4．故答案为：（x﹣2）2+y2=4．15．（5.00分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=4．【解答】解：∵a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值分别为log a2a，log a a=1，它们的差为，∴，a=4，故答案为416．（5.00分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是③④．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM与ED平行；错误的，是异面直线；②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；③CN与BM成60°；正确；④DM与BN是异面直线．正确判断正确的答案为③④故答案为：③④三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）集合A={x|2x﹣1≥1}，B={x|log2（3﹣x）＜2}，求A∩B，A∪B，（∁R A）∪（∁R B）．【解答】解：∵2x﹣1≥1，∴x﹣1≥0，解得x≥1，∴A={x|x≥1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵log2（3﹣x）＜2，∴0＜3﹣x＜4，解得﹣1＜x＜3，∴B={x|﹣1＜x＜3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴A∩B={x|1≤x＜3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）A∪B={x|x＞﹣1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（C R A）∪（C R B）=C R（A∩B）={x|x＜1或x≥3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（12.00分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅲ）一束光线从B点射向（Ⅱ）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ），，∴AB的中点坐标为（5，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分），∴AB的中垂线斜率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴由点斜式可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由点斜式﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴直线l的方程4x+3y+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅲ）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由点斜式可得，整理得11x+27y+74=0∴反射光线所在的直线方程为11x+27y+74=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12.00分）如图，已知AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，D是线段PA的中点，E是线段AC上的一点．求证：（Ⅰ）若E为线段AC中点，则DE∥平面PBC；（Ⅱ）无论E在AC何处，都有BC⊥DE．【解答】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC；（Ⅱ）∵AB是圆的直径，C是圆上任一点，∴BC⊥AC，又∵PA垂直圆所在的平面，∴BC⊥PA，又∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，∵DE⊂平面PAC，∴无论E在AC何处，都有BC⊥DE．20．（12.00分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，m∈R．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0可化为（x﹣1）2+（y ﹣2）2=﹣m+5∵方程C表示圆时，∴﹣m+5＞0，解得m＜5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心C（1，2），半径为，∵圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，∴，∴m=1．21．（12.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=，CC1=1，M为线段AB的中点．（1）求异面直线DD1与MC1所成的角；（2）求直线MC1与平面BB1C1C所成的角；（3）求三棱锥C﹣MC1D1的体积．【解答】解：（1）因为C1C∥D1D，所以∠MC1C就是异面直线DD1与MC1所成的角，…（2分）连接MC，则△C1MC为Rt△，得MC=，MC1=2，所以∠MC1C=60○．即异面直线DD1与MC1所成的角为60°；…（4分）（2）因为MB⊥平面B1C1CB，连接BC1，则∠MC1B为直线MC1与平面BB1C1C所成的角，…（6分）由△MC1B为Rt△，得BC1=，MC1=2，所以∠MC1B=30○，即直线MC1与平面BB1C1C所成的角为300；…（8分）（3）．…..（12分）22．（12.00分）已知点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足．（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（Ⅱ）若点Q在直线l1：3x﹣4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则∵点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足，∴，∴化简（x﹣1）2+y2=4；（Ⅱ）由题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，此时d==3，∴由勾股定理可得|QM|的最小值为=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。