习题2-11.观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1)1n nx n =+；（2)2(1)n n x =--;(3)13(1)nn x n=+-; （4）211n x n =-。
解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞=。
（2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。
（3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。
(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n=-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：（1)收敛数列一定有界；（2）有界数列一定收敛；（3）无界数列一定发散；（4）极限大于0的数列的通项也一定大于0.解：（1)正确.（2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。
(3）正确。
(4)错误例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。
＊3。
用数列极限的精确定义证明下列极限：（1)1(1)lim1n n n n-→∞+-=；（2)222lim 11n n n n →∞-=++; (3）323125lim-=-+∞→n n n证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可,所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=.（2）对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可,所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭,当n N >时,总有22211n n n ε--<++,所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+。
因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n .习题2—2 1。
利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： （1）21lim x x →∞；（2)-lim xx e →∞；(3)+lim xx e-→∞；（4）+lim cot x arc x →∞；（5）lim2x →∞；(6）2-2lim(1)x x →+；（7)1lim(ln 1)x x →+；(8）lim(cos 1)x x π→-解：（1）21lim0x x →∞=；（2)-lim 0xx e →∞=；（3)+lim 0xx e-→∞=;(4)+lim cot 0x arc x →∞=;(5)lim 22x →∞=;（6)2-2lim(1)5x x →+=；（7)1lim(ln 1)1x x →+=；（8）lim(cos 1)2x x π→-=-2。
函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的（ D ）（A )必要条件 (B )充分条件 （C ）充要条件 (D ）无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时,我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义,大小如何。
3。
()00f x -与()00f x +都存在是函数()f x 在点x 0处有极限的( A ) （A ）必要条件 （B )充分条件 （C )充要条件（D )无关条件解：若函数()f x 在点x 0处有极限则()00f x -与()00f x +一定都存在.4．设()21;0,;0,x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩作出()f x 的图像；求()0lim x f x +→与()0lim x f x -→；判别()0lim x f x →是否存在？解：()0lim lim 0x x f x x ++→→==，()20lim lim(1)1x x f x x --→→=+=，故()0lim x f x →不存在. 5．设()xf x x=,()x x x ϕ=,当0x →时，分别求()f x 与()x ϕ的左、右极限，问()0lim x f x →与()0lim x x ϕ→是否存在？解：由题意可知()1;0,1;0,x f x x <⎧=⎨>⎩,则()00lim lim11x x f x ++→→==，()00lim lim11x x f x --→→==，因此()0lim 1x f x →=。
由题意可知()1;0,1;0,x x x ϕ-<⎧=⎨>⎩，()00lim lim11x x x ϕ++→→==，()00lim lim(1)1x x x ϕ--→→=-=-，因此()0lim x x ϕ→不存在。
*6.用极限的精确定义证明下列极限：(1）1lim11x xx →∞-=-+;（2）2-11lim-2+1x x x →-=； （3)01lim sin0x x x→=. 证：（1)0ε∀>，要使()122(1)1111x f x x x x ε---=+=≤<++-，只要21x ε>+即可.所以，21X ε∃=+,当x X >时，都有()(1)f x ε--<，故1lim11x xx →∞-=-+。
（2)对于任给的正数ε，要使()221212111x x x f x A x x x ε-++-=+==+<++,只要1x ε+<.所以0ε∀>,δε∃=,当01x δ<+<时，都有不等式21(2)1x x ε---<+成立。
故2-11lim -2+1x x x →-=。
(3）对于任给的正数ε，要使()1sin0f x A x x xε-=-≤<，只要x ε<.所以0ε∀>,δε∃=，当0x δ<<时，都有不等式1sin 0x xε-<成立.故01lim sin 0x x x→=。
习题2—31．下列函数在什么情况下为无穷小？在什么情况下为无穷大? (1)21x x +-； (2)ln x ; （3）21x x+． 解：（1)因为22lim01x x x →-+=-，故2x →-时21x x +-为无穷小， 因为12lim1x x x →+=∞-，故1x →时21x x +-为无穷大。
（2）因为1limln 0x x →=，故1x →时ln x 为无穷小,因为0lim ln x x +→=-∞，lim ln x x →+∞=+∞,故0x +→和x →+∞时ln x 都为无穷大。
(3)因为211lim0x x x →-+=，22111lim lim()0x x x x x x →∞→∞+=+=,故1x →-和x →∞时21x x+为无穷小, 因为201limx x x →+=∞，故0x →时21x x+为无穷大。
2．求下列函数的极限： （1)201lim sin x x x →； (2)tan lim x arc xx→∞; (3)2cos lim n n n →∞.解：（1）因为(),0(0,)x ∀∈-∞+∞，1sin1x≤,且20lim 0x x →=,故得201lim sin 0x x x →=。
(2)因为(),0(0,)x ∀∈-∞+∞,arctan 2x π<，且1lim0x x →∞=，故得tan lim 0x arc xx→∞=。
（3）因为2cos 1n ≤，且1lim 0n n →∞=,故得2cos lim 0n n n→∞=.习题2-41。
下列运算正确吗？为什么？（1）0000111lim cos lim limcos 0limcos 0x x x x x x x x x →→→→⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭;（2)()22111lim lim 1lim 1x x x x x x x →→→==∞--.解：（1)不正确，因为01limcos x x →不存在,所以此时极限的四则运算法则失效。
正确做法是：因为1cos1x≤,且0lim 0x x →=，故得01lim cos 0x x x →=.（2）不正确，因为()1lim 10x x →-=，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。
正确做法是:因为211lim 0x xx→-=，由无穷小与无穷大的关系可知21lim 1x x x →=∞-。
2.求下列极限：（1）()()()2030503123lim 71x x x x →∞-++； （2）1123lim 23n n n nn ++→∞++；（3)()33limh x h x h→+-;(4）2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭; （5)322lim 2121x x x x x →∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭;（6）()23arccot lim 5x x x x x x →∞---； （7）1111393lim 1111242n n n→∞++++++++；(8)123lim 22n n n n →∞++++⎛⎫- ⎪+⎝⎭;（9）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→)1(21ln lim 21x x x . 解：（1)()()()2030203020305050501332312332lim lim 77117x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭; （2)1112232()32333lim lim lim 32223()1133n n n n nn nnn n n nn +++→∞→∞→∞+++===+++； （3）()33222200033limlim lim(33)3h h h x h x x h xh x xh x hh→→→+-+==+=;(4）222111122111 lim lim lim11(1)(1)12 x x xx xx x x x x→→→-+⎛⎫-=== ⎪----+⎝⎭;（5)3232222111 lim lim lim11 2121(21)(21)4(2)(2)x x xx x x x xx x x xx x→∞→∞→∞+⎛⎫+-=== ⎪-+-+⎝⎭-+;（6）()23arccotlim5xx x xx x→∞---;因为arccot xπ<，且223211lim lim01551x xx x x xx xx x→∞→∞--==----，所以()23arccotlim05xx x xx x→∞-=--（7）111111()311111111()3339333lim lim lim111114411()1()24222112nnnn n nn nn++→∞→∞→∞++-++++--===++++---；(8）(1)12312lim lim lim22222(2)2n n nn nn n n nn n n→∞→∞→∞+⎛⎫⎪++++-⎛⎫-=-==-⎪⎪+++⎝⎭ ⎪⎝⎭；（9)22111111limln ln[lim]ln[lim]ln102(1)2(1)2x x xx x xx x→→→⎡⎤--+====⎢⎥--⎣⎦.3.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-=,113,1)(32xxxxxxxf，求).(lim),(lim),(limxfxfxfxxx-∞→+∞→→解：因为230031lim()lim11x xx xf xx++→→+-==-+,00lim()lim(1)1x xf x x--→→=-=-，所以lim()1xf x→=-，2331lim()lim01x xx xf xx→+∞→+∞+-==+,lim()lim(1)x xf x x→-∞→-∞=-=-∞.习题2—51.求下列函数的极限：(1)22lim sin2nnRnπ→∞; (2)sinlimxxxππ→-；(3）arctan3limsin2xxx→; （4）limx+→;（5）1cos4limsinxxx x→-; （6）()21sin1lim1xxx→--。