2019年广东省中考数学模拟试卷及答案一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−7的绝对值是()A. −7B. 7C. −17D. 17【答案】B【解析】解：|−7|=7，故选：B．根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．2.在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1500000km，数1500000用科学记数法表示为()A. 15×105B. 1.5×106C. 0.15×107D. 1.5×105【答案】B【解析】解：1500000=1.5×106，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为()A. 3B. −3C. 2D. −1【答案】B【解析】解：把x=2代入方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2(k2−2)+2k+ 4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=−3，而k≠0，所以k的值为−3．故选：B．把x=2代入方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2(k2−2)+2k+4=0，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定k的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了一元二次方程的定义．5.如图所示的几何体的左视图是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：从左边看是一个圆环，故选：D．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．6.如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50∘，则∠2=()A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘【答案】C【解析】解：∵直尺对边互相平行，∴∠3=∠1=50∘，∴∠2=180∘−50∘−90∘=40∘．故选：C．根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据平角等于180∘列式计算即可得解．本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．7.某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：鞋的尺码/cm2323.52424.525销售量/双13362则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为()A. 24.5，24.5B. 24.5，24C. 24，24D. 23.5，24【答案】A【解析】解：这组数据中，众数为24.5，中位数为24.5．故选：A．利用众数和中位数的定义求解．本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.也考查了中位数．8.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()比为12A. (−2,1)B. (−8,4)C. (−8,4)或(8,−4)D. (−2,1)或(2,−1)【答案】D【解析】解：∵点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为1，把△ABO2缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：(−2,1)或(2,−1)．故选：D．根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，即可求得答案．此题考查了位似图形与坐标的关系.此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．9.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s(单位：m)与时间t(单位：min)之间函数关系的大致图象是()A. B.C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得：小刚从家到学校行驶路程s(单位：m)与时间t(单位：min)之间函数关系的大致图象是故选：B．根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可．此题考查了函数的图象，由图象理解对应函数关系及其实际意义是解本题的关键．10.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA，∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180∘，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2(∠PAB+∠PBA)=180∘，∴∠PAB+∠PBA=90∘，∴AP⊥BP，∴AF//EC；∵AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90∘，∴∠APQ+∠BPC=90∘，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90∘，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF//EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30∘时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90∘，∴Rt△EPC≌△FDA(HL)，∵∠ADF=∠APB=90∘，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选：B．①根据三角形内角和为180∘易证∠PAB+∠PBA=90∘，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90∘，由矩形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.分解因式：2m2−2=______．【答案】2(m+1)(m−1)【解析】解：2m2−2，=2(m2−1)，=2(m+1)(m−1)．故答案为：2(m+1)(m−1)．先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．12.把直线y=−x−1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为______．【答案】y=−x【解析】解：把直线y=−x−1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为：y=−(x−1)−1=−x．故答案为：y=−x．直接利用一次函数图象平移规律进而得出答案．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．13.若m+1m =3，则m2+1m2=______．【答案】7【解析】解：把m+1m =3两边平方得：(m+1m)2=m2+1m2+2=9，则m2+1m2=7，故答案为：7把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．14.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60∘，∠BCO=90∘，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为______cm2.(结果保留π)【答案】14π【解析】解：∵∠BOC=60∘，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60∘，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60∘，∠C′B′O=30∘，∴∠B′OB=120∘，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=12，∴B′C′=√32，∴S扇形B′OB =120π×12360=13π，S扇形C′OC =120π×14360=π12，∵∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O−S△BCO−S扇形C′OC=S扇形B′OB−S扇形C′OC=1 3π−π12=14π；故答案为：14π.根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．15.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8)，则点E的坐标为______．【答案】(10,3)【解析】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中，OF=√AF2−AO2=6，∴FC=10−6=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3．∴点E的坐标为(10,3)，故答案为：(10,3)．根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8−x，CF=10−6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分.也考查了矩形的性质以及勾股定理．16.如图抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为______．【答案】3√22【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−1，当x=0时，y=x2+2x−3=−3，则C(0,−3)，当y=0时，x2+2x−3=0，解得x1=−3，x2=1，则A(−3,0)，B(1,0)，∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，∴DE和DF都为△PBC的中位线，∴DE=12PC，DF=12PB，∴DE+DF=12(PC+PB)，连接AC交直线x=−1于P，如图，∵PA=PB，∴PB+PC=PA+PC=AC，∴此时PB+PC的值最小，其最小值为3√2，∴DE+DF的最小值为3√22．故答案为3√22．先确定抛物线的对称轴为直线x=−1，C(0,−3)，通过解方程x2+2x−3=0得A(−3,0)，B(1,0)，再根据三角形中位线性质得DE=12PC，DF=12PB，所以DE+DF=12(PC+PB)，连接AC交直线x=−1于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时PB+PC的值最小，其最小值为AC的长，从而得到DE+DF的最小值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和最短路径问题．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17.计算：|√3−√2|+(√2018−1)0+2sin45∘−2cos30∘+(12018)−1．【答案】解：原式=√3−√2+1+2×√22−2×√32+2018=2019． 【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18. 先化简，再求值：(2a+1+a+2a 2−1)÷a a−1，其中a =√2−1．【答案】解：原式=[2a+1+a+2(a+1)(a−1)]⋅a−1a =3a (a+1)(a−1)⋅a−1a =3a+1， 当a =√2−1时，原式=3√2−1+1=3√22． 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共54.0分）19. 尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．如图，已知∠α和线段a ，求作△ABC ，使∠A =∠α，∠C =90∘，AB =a ．【答案】解：如图所示，△ABC 为所求作【解析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案． 本题考查尺规作图，解题的关键是熟练运用尺规作图的基本方法，本题属于中等题型．20. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH 和教学楼CG的高，先在A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H 的仰角∠HDE 为45∘，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上，再向前走7米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF 为60∘，点A 、B 、C 三点在同一水平线上．(1)计算古树BH 的高；(2)计算教学楼CG 的高.(参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7)【答案】解：(1)由题意：四边形ABED 是矩形，可得DE =AB =7米，AD =BE =1.5米，在Rt△DEH中，∵∠EDH=45∘，∴HE=DE=7米．∴BH=EH+BE=8.5米．(2)作HJ⊥CG于G.则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x．，在Rt△EFG中，tan60∘=GFEF∴√3=7+x，x∴x=7(√3+1)，2∴GF=√3x≈16.45∴CG=CF+FG=1.5+16.45≈18.0米．【解析】(1)利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；(2)作HJ⊥CG于G.则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x.构建方程即可解决问题；本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次活动共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______；(2)将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是“______”；(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．【答案】200 81∘微信【解析】解：(1)本次活动调查的总人数为(45+50+15)÷(1−15%−30%)=200人，则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360∘×45200=81∘，故答案为：200、81∘；(2)微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，补全图形如下：由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，故答案为：微信；(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13．(1)用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360∘乘以“支付宝”人数所占比例即可得；(2)用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．(1)求证：AB=AF；(2)若AG=AB，∠BCD=120∘，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．(2)解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF//CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120∘，∴∠FAG=60∘，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．【解析】(1)只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；(2)结论：四边形ACDF是矩形.根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．在第一象限图象上23.如图，A(4,3)是反比例函数y=kx一点，连接OA，过A作AB//x轴，截取AB=OA(B在A右侧)，连接OB，交反比例函数y=k的x图象于点P．(1)求反比例函数y=k的表达式；x(2)求点B的坐标；(3)求△OAP的面积．【答案】解：(1)将点A(4,3)代入y =k x ，得：k =12， 则反比例函数解析式为y =12x ；(2)如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，则OC =4、AC =3，∴OA =√42+32=5，∵AB//x 轴，且AB =OA =5，∴点B 的坐标为(9,3)；(3)∵点B 坐标为(9,3)，∴OB 所在直线解析式为y =13x ，由{y =13x y =12x可得点P 坐标为(6,2)， 过点P 作PD ⊥x 轴，延长DP 交AB 于点E ，则点E 坐标为(6,3)，∴AE =2、PE =1、PD =2，则△OAP 的面积=12×(2+6)×3−12×6×2−12×2×1=5．【解析】(1)将点A 的坐标代入解析式求解可得；(2)利用勾股定理求得AB =OA =5，由AB//x 轴即可得点B 的坐标；(3)先根据点B 坐标得出OB 所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P 的坐标，再利用割补法求解可得．本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点的坐标和割补法求三角形的面积．24. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，AO 是△ABC 的角平分线.以O 为圆心，OC 为半径作⊙O ．(1)求证：AB 是⊙O 的切线．(2)已知AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D ，tanD =12，求AE AC的值． (3)在(2)的条件下，设⊙O 的半径为3，求AB 的长．【答案】(1)如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB是⊙O的切线；(2)如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD=90∘，∴∠ECO+∠OCD=90∘，∵∠ACB=90∘，∴∠ACE+∠ECO=90∘，∴∠ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC，∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴AEAC =CECD，∵tan∠D=12，∴CECD =12，∴AEAC =12；(3)由(2)可知：AEAC =12，∴设AE=x，AC=2x，∵△ACE∽△ADC，∴AEAC =ACAD，∴AC2=AE⋅AD，∴(2x)2=x(x+6)，解得：x=2或x=0(不合题意，舍去)，∴AE=2，AC=4，由(1)可知：AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90∘，∵∠B=∠B，∴△OFB∽△ACB，∴BFBC =OFAC，设BF=a，∴BC=4a3，∴BO=BC−OC=4a3−3，在Rt△BOF中，BO2=OF2+BF2，∴(4a3−3)2=32+a2，∴解得：a=727或a=0(不合题意，舍去)，∴AB=AF+BF=1007．【解析】(1)由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；(2)连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以AEAC =CECD，而tan∠D=CECD =12；(3)由(2)可知，AC2=AE⋅AD，所以可求出AE和AC的长度，由(1)可知，△OFB∽△ABC，所以BFBC =OFAC，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC.本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC.求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)①y=12x+2当x=0时，y=2，当y=0时，x=−4，∴C(0,2)，A(−4,0)，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=−32对称，∴点B的坐标为1，0)．②∵抛物线y=ax2+bx+c过A(−4,0)，B(1,0)，∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x−1)，又∵抛物线过点C(0,2)，∴2=−4a∴a =−12∴y =−12x 2−32x +2． (2)设P(m,−12m 2−32m +2)．过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，∴Q(m,12m +2)，∴PQ =−12m 2−32m +2−(12m +2) =−12m 2−2m ，∵S △PAC =12×PQ ×4，=2PQ =−m 2−4m =−(m +2)2+4，∴当m =−2时，△PAC 的面积有最大值是4，此时P(−2,3)．(3)方法一：在Rt △AOC 中，tan∠CAO =12在Rt △BOC 中，tan∠BCO =12，∴∠CAO =∠BCO ，∵∠BCO +∠OBC =90∘，∴∠CAO +∠OBC =90∘，∴∠ACB =90∘，∴△ABC∽△ACO∽△CBO ，如下图：①当M点与C点重合，即M(0,2)时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M(−3,2)时，△MAN∽△ABC；③当点M在第四象限时，设M(n,−12n2−32n+2)，则N(n,0)∴MN=12n2+32n−2，AN=n+4当MNAN =12时，MN=12AN，即12n2+32n−2=12(n+4)整理得：n2+2n−8=0解得：n1=−4(舍)，n2=2∴M(2,−3)；当MNAN =21时，MN=2AN，即12n2+32n−2=2(n+4)，整理得：n2−n−20=0解得：n1=−4(舍)，n2=5，∴M(5,−18)．综上所述：存在M1(0,2)，M2(−3,2)，M3(2,−3)，M4(5,−18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．方法二：∵A(−4,0)，B(1,0)，C(0,2)，∴K AC×K BC=−1，∴AC⊥BC，MN⊥x轴，若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，则MNNA =ACBC，MNNA=BCAC，设M(2t,−2t2−3t+2)，∴N(2t,0)，①|2t2+3t−22t+4|=√52√5，∴|2t−12|=12，∴2t1=0，2t2=2，②|2t2+3t−22t+4|=√5√5，∴|2t−12|=2，∴2t1=5，2t2=−3，综上所述：存在M1(0,2)，M2(−3,2)，M3(2,−3)，M4(5,−18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．【解析】(1)①先求的直线y=12x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x−1)，然后将点C的坐标代入即可求得a的值；(2)设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=−12m2−2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=12×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；(3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M(0,2)时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M(−3,2)时，△MAN∽△ABC；④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．。