《点集拓扑》复习题一、概念叙述1、拓扑空间2、邻域、邻域系3、集合A 的凝聚点4、闭包5、基 子基6、子空间7、（有限）积空间8、隔离子集9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题1、有限集不可能有聚点 （ ）2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ）3、如果A B ⋂≠∅，则A B A B ⋂=⋂ （ ）4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。
（ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ）７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ）１０、映射:f X Y →是连续映射的⇔若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于x X∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ）１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ⊂ （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ）１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ⊂，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点⇔在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ）１６、度量空间也是拓扑空间 （ ）１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ）１８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( )19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。
20、设A 、B 是拓扑空间X 中的两个连通子集，则A B ⋃也是X 的一个连通子集 （ ）21、如果A 、B 是拓扑空间X 中两个不交的开子集，则A 、B 必是X 中隔离子集 （ ）22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性 （ ） 23、正规空间必是Hausdorff 空间 （ ）24、在一个紧致的2T 空间中，一个集合是紧致子集⇔它是一个闭集（ ）25、紧空间必是Lindel ǒf 空间 （ ） 26、度量空间中紧致集必是有界闭集 （ ） 27、正则空间必是Hausdorff 空间 （ ）28、设12X X X =⨯是空间1X 、2X 的积空间，A 1X ⊂,2B X ⊂分别是1X 、2X 中闭集 （ ）29、设A 、B 是拓扑空间X 中两个子集，并且A B ⋂≠∅，则有()()()d A B d A d B ⋂=⋂ （ ）30、若拓扑空间X 是连通空间，则X 必是局部连通空间 （ ） 三、填空1、设:f X Y →是同胚映射，则f 必是一一映射，并且 和 都是连续的。
2、设Y 是拓扑空间(),X ℑ的子集，Y 的拓扑Y ℑ称为 ；拓扑空间(),Y Y ℑ称为(),X ℑ的 。
3、连通空间X 中既开又闭的子集只能是 和 。
4、设X 是拓扑空间，若X 的每一 覆盖都有一个 ， 则X 是Lindel ǒf 空间。
5、正规的 空间或紧致的 空间是4T 空间。
6、X 是拓扑空间。
若X 的每一个 开覆盖都有 ，则X 是可数紧致空间。
7、如果A 是离散空间X 中一个非空连通子集，则A 必是 。
8、如果X 是一个可数集，则X 上的可数补拓扑空间必定是 。
9、设X是离散度量空间，X上度量为()1,,,0,,x y x y x y ρ≠⎧=⎨=⎩则X 中任一点x 的球形邻域(),1B x = 。
10、在拓扑空间X 中，如果子集A 是开集，B 是闭集，则A B -是B A -是。
11、设(),X ℑ是实数集R 上的可数补空间，A 是X 中一个可数集，B 是X中一个不可数集，则()d A = ，()d B = 。
12、如果集合X 上的任一拓扑ℑ，拓扑空间(,)X ℑ都是紧致空间，则X必是 。
13、在平面空间2R 中，度量ρ定义为任意两点()()()12121122,,,,,,a x x b y y a b x y x y ρ===-+-则以原点O 为中心，0ε>为半径的球形邻域()0,B ε的图形是 。
14、积空间12X X X =⨯的子基元素的一般形式是 或 。
15、设[)[)0,12,3Y =⋃是实数空间R 的一个子空间，则Y 的子集[)0,1是Y 的 。
16、在实数空间R 中，取A 为整数集，B 为有理数集，则A = ， B = 。
17、设X ={},,a b c ，X 上拓扑{}{},,,X a b ℑ=∅，取子集{}A b =，则()d A = 。
18、如果X 是平庸空间，则X 必为紧致空间，它的每一个开覆盖A ，必有有限子覆盖1A = 。
四、单选题1、设X ={},,a b c ，它的一个拓扑是（ ）()A {}{}{}{},,,,,,a a b a b c ∅ ()B {}{}{}{},,,,,b c a b c ∅ ()C {}{}{}{},,,,,,,a b a c a b c ∅ ()D {}{}{}{}{},,,,,a b c a b c ∅2、设X 是拓扑空间，F 为所有闭集构成的族，则有（ ）．()A 若i A ∈F ()1,2,i = 则有12n A A A ⋃⋃⋃⋃∈ F ()B 若i A ∈F ()1,2,i = 则有12n A A A ⋂⋂⋂⋂∈ F ()C ,X ∅∉F ()D 若A ∈F 则X A -∈F3、设X 为拓扑空间，则对,A B X ∀⊂，必有（ ）． ()A X ∅= ()B A A ⊂ ()C A B A B ⋃=⋂()D A 是闭集 4、设X 为拓扑空间，x X ∈，则有 （ ）．()A x 的任意邻域都是X 的开集 ()B x 的任意邻域都是X 的闭集()C 包含x 的开集都是x 的邻域()D 若12,U U 是x 的邻域，但12U U ⋂不是x 的邻域5、已知()0,1是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间()0,1中的开集是 （ ）． ()A [)0,b ()B (],a b ()C [],a b ()D ∅其中(),0,1a b ∈．6、设{},,X a b c =，ℑ是平庸拓扑，(),X ℑ中两子集是隔离的是（ ）．()A {}a 与{}b ()B {},a b 与{},b c ()C {}a 与{},b c ()D∅与{}a7、下面命题中正确的是（ ）．()A 平庸空间是0T 空间()B 在2T 空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列()C 1T 空间未必是0T 空间 ()D 1T 空间中每一单点集都是闭集8、若X 是Hausdorff 空间，则X 必是（ ）．()A 正则空间 ()B 正规空间 ()C 3T 空间 ()D 1T 空间9、下面不连通的拓扑空间是（ ）．()A 实数空间 ()B 平庸空间()C 包含多于两个点的离散空间 ()D 拓扑学家正弦曲线21,sin01S x R x x ⎧⎫⎛⎫=∈<≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭10、下面正确的命题是（ ）．()A 设:f X Y →是连续映射，若 X 满足第二可数性公理（即X 是2A 空间），则 Y 也是2A 空间。
()B 2A 空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。
()C 若拓扑空间i X ()1i n ≤≤都是2A 空间，则积空间12n X X X ⨯⨯⨯ 也是2A 空间。
()D 2A 空间未必满足第一可数性公理。
11、拓扑空间X 中，,A B 是隔离子集，则在子空间A B ⋃中子集A 是（ ）．()A 开集，但不是闭集 ()B 闭集，但不是开集()C 既是开集，又是闭集 ()D 既不是开集，又不是闭集 12、在实数空间中，子集(]0,1A =，[)0,1B =，()0.1C =，[]0,1D =，其中可能有同胚关系的是（ ）．()A A 与B ()B C 与D ()C A 与C ()D B 与D13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为Hausdorff 空间”的（ ）。
()A 充分条件 ()B 必要条件()C 充分必要条件 ()D 既不是充分条件，也不必要条件14、设[)[)0,12,3Y =⋃是实数空间R 的一个子空间，则Y 中的子集[)0,1是Y 的（ ）．()A 开集，但不是闭集 ()B 闭集，但不是开集()C 既是开集，又是闭集 ()D 既不是开集，又不是闭集15、设(),X ℑ集合R 上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（ ）()AX是1A 空间 ()B X 是2A 空间()C X 是可分空间 ()D X是Lindeloff 空间16、拓扑空间X 中“只有单点集”是“X 为离散空间”的（ ）()A 充分条件 ()B 必要条件()C 充分必要条件 ()D 既不是充分条件，也不必要条件五、证明题1、设X 是一个集合，令{}X ℑ=∅，，则ℑ是X 的一个拓扑．2、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是不连通的．3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理．4、拓扑空间X 的子集U 是开集的充要条件是U 是它的每一点的邻域．5、若X 是1T 空间，则X 中的每个单点集都是闭集。
6实数空间R 不是一个紧致空间。
7、包含不少于两个点的平庸空间不是0T 空间。
8、设()X ρ，为度量空间，如果X 为有限集，证明：()X ρ，为离散空间。
9、设()X ℑ，为拓扑空间，证明：如果X 的每一个子集A 都满足()=∅d A ，则()X ℑ，是离散空间。
10、设X 为拓扑空间，:f X R → （其中R 为实数空间）是连续映射，证明X 中的子集(){}0A x X f x =∈<为开集。
11、证明：正则的0T 空间必是3T 空间。
12、证明：实数集R 上的可数补拓扑空间必是一个Lindeloff 空间。
13、设(),X ρ是度量空间，证明：如果X 有一个基只含有有限个元素，则X 必为有限集，且(),X ρ是离散空间。
14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。