高中数学-不等式的基本性质（一）练习
课后导练
基础达标
1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( )
A.-2<α-β<0
B.-2<α-β<-1
C.-1<α-β<0
D.-1<α-β<1
解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1.
∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0,
∴-2<α-β<0.
答案:A
2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( )
A.a>c,或b>c
B.a>c 且b<c
C.a>c 且b>c
D.a>c,或b<c
解析:∵a>c 且b>c ,∴a+b>c+c,即a+b>2c.
答案:C
3若x>1>y,下列不等式中不成立的是( )
A.x-1>1-y
B.x-1>y-1
C.x-y>1-y
D.1-x>y-x
解析:∵x>1>y,
∴x+(-1)>y+(-1),即B 正确;
x+(-y)>1+(-y),即C 正确;
1+(-x)>y+(-x),即D 正确.
故选A.
答案:A
4若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )
A.-n<m<n<-m
B.-n<m<-m<n
C.m<-n<n<-m
D.m<-n<-m<n
解析:∵n>0,m+n<0,
∴m<-n<0,-m>n,即n<-m.
∴m<-n<n<-m.故选C.
答案:C
5若0<a<b<1,m=log a b,n=log b a,p=a
1log b,则( )
A.p<m<n
B.p<n<m
C.m<n<p
D.n<m<p
解析:m>0,m,n 互为倒数,易得m<1<n,而p=-m<0.
答案:A
综合运用
6已知a<b<c,且a+b+c=0,则b 2-4ac 与0的大小关系是__________.
解析:由已知得a<0,c>0,∴4ac<0.∴b 2-4ac>0.
答案:b 2-4ac>0
7下列命题中真命题的个数为( )
①若a>b,且a,b 同号,则
a 1<
b 1 ②若a 1>1,则a<1 ③a≥b,且ac≥b
c ⇒c≥0 ④若a>b,n∈N *⇒a 2n+1>b 2n+1
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①∵a,b 同号,∴
ab 1>0.由a>b,两边同乘ab 1得ab b ab a >,即b 1>a 1,亦即a 1<b 1,因此①是真命题. ②由a 1>1可知a>0,给a
1>1两边同乘a 得1>a,综合得0<a<1,故②是假命题. ③ac≥bc,即c·(a -b)≥0,当a-b=0时,c 可取任意实数,特别地,当a=b=0时,c 可取负数,因此③是假命题.
④由a>b 可知a,b,0之间有三种可能性,即a>b≥0,a≥0>b,0>a>b.
若a>b≥0,则由性质(5)知a 2n+1>b 2n+1;
若a≥0>b,则a 2n+1≥0>b 2n+1;
若0>a>b,则(-b)>(-a)>0,
可得(-b)2n+1>(-a)2n+1,
即-b 2n+1>-a 2n+1,
即是a 2n+1>b 2n+1,
因此④是真命题.
答案:B
8设A=1+2x 4,B=2x 3+x 2,x∈R ,则A,B 的大小关系是____________.
解析:A-B=(x-1)2(2x 2+2x+1)≥0.
答案:A≥B
9若a,b,x,y∈R ,则⎩⎨⎧>--+>+0))((,b y a x b a y x 是⎩⎨⎧>>b
y a x ,成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)若⎩⎨⎧>--+>+,
0))((,b y a x b a y x ①②
由式②知(x-a)与(y-b)同号;
又由式①得(x-a)+(y-b)>0.
∴x -a>0,y-b>0,即x>a,y>b.
故充分性成立.
(2)若⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧>>.
0,0,,b y a x b y a x 则 ∴⎩
⎨⎧>--+>+,0))((,b y a x b a y x .故必要性成立. 综合(1)(2)知,应选C.
答案:C
拓展探究
10某顾客第一次在商店买x 件商品花去y(y≥1)元,第二次再买这种商品时,发现该商品已降价,且120件恰好降价8元,第二次比第一次多买10件,共花去2元,那么他第一次至少买这种商品几件?
解析:依题意
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+≥)2(,21208)(10()1(,1x y x y 由②得y=)
10(15)40()151102(++=-+x x x x x ≥1, ∵x+10>0,∴x(x+40)≥15(x+10).
∴x 2+25x-150≥0.
∴(x+30)(x -5)≥0.
∵x+30>0,∴x -5≥0,即x≥5.
答:第一次至少买5件商品.
备选习题
11若x<y<0,试比较(x 2+y 2)(x-y)与(x 2-y 2)(x+y)的大小.
解析:(用作差法比较)
(x 2+y 2)(x-y)-(x 2-y 2)(x+y)
=(x-y)［(x 2+y 2)-(x+y)2］=-2xy(x-y).
∵x<y<0,∴xy>0,x -y<0.
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x 2+y 2)(x-y)>(x 2-y 2)(x+y).
12令0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是( ) A.
2
1 B.a C.2ab D.a 2+b
2 解析:由题意,0<a<21<b<1,则a<2ab. 又由2ab≤2
)(2
b a +≤a 2+b 2, 得a<2ab<
21<a 2+b 2. 答案:D
13给出函数f(x)=x 2,对任意x 1,x 2∈R +,且x 1≠x 2,试比较
21［f(x 1)+f(x 2)］与f(221x x +)的大小关系.
解析:∵2
1［f(x 1)+f(x 2)］-f(221x x +) =
21 (x 12+x 22)-(221x x +)2
=21
x 12+21x 22-41x 12-41x 22-21
x 1x 2 =41
x 12+41x 22-21
x 1x 2 =41
(x 1-x 2)2
>0, ∴21［f(x 1)+f(x 2)］>f(22
1x
x +).
14若a<b<0,则下列不等式中,不能成立的是( ) A.a 1>b 1
B.|a|>|b|
C.a 2>b 2
D.b a -1>a 1
解析:∵b a -1-a 1=)()()
(b a a b
b a a b a a -=---<0,∴应选择D.
答案:D
15设a>0,且a≠1,试比较21log a t 与log a 21
+t 的大小.
解析: 21
log a t-log a 21
+t =log a t -log a 21+t =log a 12+t t
.
∵t+1-t 2=(t -1)2≥0, ∴t+1≥t 2.∴0<12+t t
≤1.
(1)当0<a<1时,log a 12+t t
≥0, ∴有21
log a t≥log a 21
+t (当且仅当t=1时取“=”).
(2)当a>1时,log a 12+t t
≤0, ∴有21
log a t≤log a 21
+t (当且仅当t=1时取“=”).
16若a,b,m,n 均为正数,且m+n=1,试比较nb ma +与b n a m +的大小. 解析:由已知nb ma +>0,b n a m +>0, (nb ma +)2-(b n a m +)2=ma+nb-m 2a-n 2b-ab mn 2
=m(1-m)a+n(1-n)b-ab mn 2=mna+mnb-ab mn 2 =mn(a+b-ab 2)=mn(b a -)2
. 因为m,n,a,b 均为正数，所以（nb ma +）2≥(b n a m +)2, 所以nb ma +≥b n a m +.。