绝密★启用前
2021 届浙江省水球高考命题研究组方向性测试 I
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页， 满分150分，考试用时120分钟。
考生注意：
1.答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效。
参考公式：
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集 U = R ,集合{|12},U
A x x
B A =-≤<=
,则
A.-l ∈B
B.0∈B
C.1∈B
D .2∈B
2. 记复数z 的共轭复数为z ， 则
A. ||z z z ⋅=
B. 2||z z z ⋅=
C. 1
||2
z z z ⋅=
D . 2||z z z ⋅=
3. 斜率等于纵截距的一半的直线恒过的定点坐标是
A. 1(,0)2
-
B. 1(,0)2
C.(- 2 , 0)
D.(2,0)
4. 如图为某圆台的三视图（单位： cm),则该圆台的表面积（单位：cm 2) 为
A.11π
B.10π
C.9π
D .8π
5. 已知0 <a < l ,随机变量ξ的分布列如下表，若E (ξ) =D (ξ ) ,则下列结论中不可能成立的是
A. 13
a =
B.23
a =
C.
12
k =
D.k =1
6. 设23log 3,log 5p q ==, 则下列判断中正确的是
A.pq > 2，log p q < l
B.pq > 2，l og p q >1
C. pq <2，l og p q <1
D. pq < 2，l og p q >1
7. 已 知x , y ∈R ,则“10
240320
x y x y x y ++≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≤⎩
”是“2||||3x y +≤”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 8. 如图为函数 y =ln(ax 3 + bx 2 +cx + d ) (a ,b,c ,d ∈R )的部分图像， 则
A.c < b < a < d
B.b < c < a < d
C.b < a < c < d
D.b < c < d < a
9. 设120(*)n t t t n <<<<∈N , 函数11
()()()n n n f x x t x x t x
=+-+
-在(0，t n )上的最小值均为M ,则 A.若M = 9，则 n 的最大值为 4 B. 若M = 7，则 n 的最大值为 3
C. 若M = 5，则 n 的最大值为 2
D. 若M =3，则 n 的最大值为 1
10. 如图，在边长为k 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是正方形A 1B 1C 1D 1内的点 (不含边界)，记
d 1 , d 2分别是其到平面 ADD 1A 1和CD D 1C 1的距离．若空间中存在 直 线l 与四条直线AC 1，BE ，CD ，A 1D 1均相 交，则
A. 122
2
d d +≥
B. 1222
d d +≤
C.12d d k
D.12d d k
第 II 卷 · 非选择题部分(共110分)
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题 6分，单空题每小题4分，共36分 。
11. 《五曹算经》是我国古代数学著作之一，共分“田曹”“兵曹”“集曹”“仓曹”“金曹” 五卷．在“田曹”卷中有这样一道问题：已知某正方形田的中心到一个顶点的距离为70m ,求该正方形田的面积．由于当时均田制盛行， 该书将正方形的边长与对角线之比近似化为5 : 7,以方便官吏计算．则根据该算法，上述正方形田的面积为
m 2，此计
算结果比
实际面积多 %.(精确到个位）
12. 若多项式24260126(1)(1)x x x a a x a x a x ++-=+++
+，则1236a a a a +++
+＝ ，
a 3= .
13. 在△ABC 中，∠A , B ,C 所对的边分别为a , b , c ，且满足c (sin B + s in C ) = a sin A - b sin B ,
则 A =
；cos B + 2cos C 的最大值为
．
14. 设集合S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,若从中随机抽取三个元素a 1，a 2，a 3(a 1，a 2，a 3可以相同），则
a 1+a 2+a 3∈S 的概率是 ， 以a 1，a 2，a 3为三边可构成的三角形共有 个.(用数字作) 15. 设等比数列{a n }的首项a 1=-1,公比 q =q 0,等差数列{
b n }的首项 b l =q 0，公差d =1，记
c n =a n +b 11，
且c n +1>c n (n ∈N *)，则负实数q 0的取值范围是
．
16. 已知F 是双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左焦点，过点F 的直线与双曲线E 的左支和两
条渐近线依次交于A B,C 三点，若|FA |=|AB |=|BC |, 则双曲线E 的离心率为 ．
17. 已知单位向量a , b ,c 满足a ·b =0,记 d = a -3 b ,则对任意λ∈R ,|2a +c |+|(1-λ) d|+ 2| a -c -λ)d |的
最小值是 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
18. (本题满 分14 分）已知奇函数()sin()cos()()f x x x ϕϕϕ=+++∈R .
(I)求ϕ的取值集合
；
(II) 将函 数 f 2( x )的图像上每点的横坐标伸长到原来的k (k > 1) 倍，纵坐标伸长到原来的π
倍得到函数g (x )的图像，若函数y = tan g ( x ) 在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增，求 k 的最小值.
19. (本题满分15分）如图所示，四棱锥A´-BCDE 是由直角△ABC 沿其中位线DE 翻折而成，且
∠ B =
π
2
，PC =2PA ´ . (I)证明： A'E//平面PBD ;
(II ) 若AB = BC = 4,二面角C -A'D -E 的大小为5π
6
， 求四棱锥 A ' - BCDE 的体积．
20. (本题满分15分）已知在数列{a n }中，a 1 > 1,
11
(*)1
n n n a n a n a +-=+∈-N
(I)证明：11(*)n n a a n +>>∈N ; (II ) 记1,21
n n n n n
b c na a +=
=-,对任意正整数k ≥ 2 ,证明： ( i ) 1
1221
k k b b b b k k +++
+>
-+; ( i i ) 1212(2)(1)k c c c a k k +++<++-.
21. (本题满分15分）如 图，椭圆2
214
x y +=的左、右顶点分别为 A , B ,点 P 的坐标是 (2, 2) ,线
段 OP 交椭圆于点 C ，D 在线段 OC 上(不包括端点），延长AD 交椭圆于点E ,延长PE 交椭
圆于点F .记S 1 , S 2分别为△BCD 和△EDF 的面积． (I)求|OC |的值 ； ( II ) 求S 1 ·S 2的最大值.
22. (本题满 分1 5分）已知函数32()e ()x f x a x b cx =-+-,其中a , b , c ∈ R .
(I)当b =0 时 ，若 f (x ) 的最小值是 0 ,求 a + c 的最大值； (II ) 当1e
,32
a c ==时 ，若f ( x )有唯一极值点，求
b 的取值范围 ．
注 ： 本题结果可保留超越方程的实数根，如 b 的取值范围是[x 0,3]，其中x 0是方程 x + ln x =0的 实数根．。