当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年， 投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡 概率可以用qx 表示，有 q[ x r ] r q[ x r 1] r 1 q[ x r 2] r 2 称为终极表。 注记： 由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表， 通常把他们放在一起，形成选择 终极表 由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表， 称为综合表。
5.25 q50 Balducci 0.1 0.9
0.25
0.25 0.1050847 44 0.25
3、 30.5UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
2、5.25 q50 5 q50 5 p50 0.25 q55
5 q50 0.1 5 p50 0.9
q55
1 45

5.25
q50 UDD 0.1 0.9 0.25
1 0.105 45 ) 0.1050422
44 q CF 0.1 0.9 (1 5.25 50 45
1 1 t t S0 ( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1)
, 0 t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 ( x t ) (1 t ) S0 ( x) t S0 ( x 1) S0 ( x) t [ S0 ( x 1) S0 ( x)]
t qx
( x为整数， 0 t 1)
S0 ( x) S0 ( x t ) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] tqx S0 ( x ) S0 ( x)
死亡均匀分布假设
t qx y
S0 ( x y ) S0 ( x y t ) tqx S0 ( x y ) 1 yqx
(1 t ) 1 t s( x t ) s ( x) s( x 1)
巴尔杜奇(Balducci)假设
此时，
t qx
tq x 1 (1 t )q x tq x 1 (1 y t )q x
(1 t )q x
t q x y
（其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）
三种假定

均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 ( x t ) (1 t )S0 ( x) tS0 ( x 1) , 0 t 1

常数死亡力假定(几何插值)
S0 ( x t ) S0 ( x)(1t ) S0 ( x 1)t

, 0 t 1
Balducci假定(调和插值)
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的 健康标准加以选择后， 一组被保险人的死亡率 不仅 随年龄而变动，而且随 已投保年限长短变动。 以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2] 2 这一差异可以忽略不计 。
t dt 0 e t px e
死亡力恒定假设
若以
x1 / 2表示 x t ，有
x 1/ 2 ln px
此时，
tμx1/ 2 p e ( px )t t x
巴尔杜奇(Balducci)假设
以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设 是当x为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的 线性函数，即
经验数据表明： q[ x n ] n q[ x n 1] n 1的值随着n的增大迅速缩小。一般 当n 10时
选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
•
选择生命表：依据q[ n ] n 编制的生命表。它表明 随年龄和已投保期而变 动 的死亡规律。
1t q x t
三种假定下的生命表函数
函数
ti
t qx 1 (1 t ) qx
qx
tq x
yqx 1 tq x qx 1 tq x
1 e t
e
t
t px
y q x t
1 tqx
1 e y
x t

e t
px 1 (1 t ) qx yqx 1 (1 y t )qx qx 1 (1 t )qx
px qx [1 (1 t ) qx ]2
f x (t )
qx

例：已知
l x 10000 (1
x ) 100

分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5 30 5.25 50
q ,
q ，30.5
解： 1、q30 l30 l31 1 e p30 69
l30 70
0.5 30
70
q UDD 0.5q30
1 140 69 70
0.5 1 0.5 q30 CF 1 e
0.5 q30 Balducci
0.5q30 1 p30 0.5q30 139
第五节 生命表的编制
一、有关分数年龄的假设

使用背景:

生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分 数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生 存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数 年龄的生存状况


基本原理:插值法 常用方法

均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
x t
S0 '( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1) qx S0 ( x t ) S0 ( x) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] 1 tqx
死亡力恒定假设
当假设死亡力在x~x+1上恒定时， x t (x为整数，0≤t≤1)， d ln t p x 由死亡力的定义， x t dt