中点为
x0

t1 +t2 2
第四模块
c平o面s向,量y、0 数系t1的+2扩t2充s与in复数的引入
结论3的应用： 数学
1.点差法 高考总复习人教A版 · (理)
2.参数法
例2：过点P 2，0，斜率为 4的直线，与抛物线y2 =2x
3
交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标。
r e
反向时 t第<四0模；块 当平面点向量M、与数系M的扩0重充与合复数时的引，入t=0
例1：已知直线 l : x 数学
高考总复习人教A版 · (理)
y1 0
与抛物线
y

x2
交于A，B两点，求线段AB的长和点 M(1, 2)
到A,B两个点的距离之积.
解：因为直线过定点M且倾斜角为 3 ， 所以参数方程
y 2 4t
则点(3, 6)到直线的距离是 ____2_0__1_7_______
17
5、直线{x 2 t cos 300 (t为参数)的倾斜角
y 3 t sin 600 等于( D )
A.300 B.600 C. 450 D.135 0
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
M0(x0,y0)
x x0 t cos, y y0 t sin

O
x
x x0 t cos, y y0 t sin
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
新课讲授 高考总复习人教A版 · (理)
因此，过定点 M0(x0, B.700 C.1100 D.1600
（2）直线x

y
1


0的一个参数方程是

x y

1
2 2
2 2
t
t （t为参数）
。
取点1，0，k tan 1
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
3、直线{x 2 数学
高考总复习人教A版 · (理)
所以两个交点到点M0的距离的和为： 1 5 ，3积为:10
2.解：设过点P(2,0)的直线AB的
倾斜角为 ，由已知可得
cos 3 ,sin 4
5
5
所以，直线的参数方程为 x 2 3 t
5
代入 y2 ，2整x 理得
y 4t 5
8t2 15，t 50 0
中点M的相应参数 t t1 t2 15 2 16
即 (t1 t2 )2 5t1t2 所以, [2 2(4 p)]2 5 8(4 p)
p1
x 2 2 t 2
y 4 2 t 2
t2 2 2(4 p)t 8(4 p) 0
由根与系数的关系，得到
t1 t2 2 2(4 p) t1t2 8(4 p)
因为 | M1M2 |2 | AM1 | • | AM2 |, 所以,
(t1 t2 )2 | t1 | • | t2 | t1t2
4cos 2sin t1 t2 - cos2 sin2
因为点M为线段AB的中点，由t的几何意义
可于知 是，t1kt,2t所an以,0 2 4cos 2sin 0
因此所求直线方程为:2x-y-3=0
4.解：直线L的参数方程为
（ 为参t数）
代入 y2 ， 2得px到
2t (t为参数)上与点P(2,3)
y 3 2t
距离等于 2的点的坐标是 ( D )
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
注意：参数t的几何意义
t 2
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
4、设直线的参数方程为{x 1 t (t为参数)
为：
4
把它代入抛物线方程得 t2 2t 2 0
解得t1
2 2
10 ,t2
2 2
10
由参数t的几何意义得， | AB || t1 t2 | 10
| MA | | MB || t1t2 | 2
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
常用结论： 数学
（3）将直线L的参数方程中的x,y 代入 x2 y2 16 ，得 t2 (1 5 3)t 10 0
设上述方程的根为t1,t2，则 t1 t2 (1 5 3) t1t2 ，10可知 为t负1 , t值2 ，所以 | t1 | | t2 | (t1 t2) 1 5 3

所以直线的参数方程为：
x


y

2+ 4t 5
3t 5 （t为参数）
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
1.点差法 2.参数法
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
课堂练习 高考总复习人教A版 · (理)
（1）直线x y
3 t sin 20（0 t为参数）的倾斜角是（B t cos200
uuuuuur
M0rM （x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0)
设e是r 直线l的单位方向向量，则
uuueuuur (cros,sin )
y
r e
M(x,y)
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r

R,
使M0M te,即
(x x0, y y0) t(cos,sin)
uuur uuur uuur r r
r
2 AB=MB-MA=t2 e-t1e= t2 -t1 e
uuur
r
r
所以 AB = t2 -t1 e = t2 -t1 e = t2 -t1
（3）线段AB的中点对应的参数是：t中
=
t1
+t2 2
由A x0 t1 cos , y0 t1 sin , B x0 t2 cos , y0 t2 sin
y

x y

x0 y0
t cos（t为参数） t sin
M0(x0,y0)
斜率k tan sin cos

O
x
只要找出直线上一个点的坐标和直线的倾斜角， 就能写出直线的一个参数方程。
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
思考: uuuuuur r
数学 由M M 0 高考总复习人教A版 t · (理) e, 你能得到直线的参数方
教材习题答案
1.解（1）直线L的参数方程为
t x 1（ 12为t参, 数）
y 5 3 t 2
（2）将直线L的参数方程中的x,y代入
x y ，2 得3 0 t (10 6 3) 所以，直线L和直线x y 2 的3 交0点
到点M0的距离为 | t | (10 6 3 )
1 弦长公式 高考总复习人教A版 · (理)
|
AB
||
t1

t2
|
10
2 t的几何意义：| MA | | MB || t1t2 | 2
uuur r uuur r
证明：1 设MA=t1e, MB=t2 e则 MA = t1 ，MB = t2
所以 MA MB = t1 t2 = t1t2
新课导入 数学
高考总复习人教A版 · (理)
我们知道，过定点 M0(x0,y0 )，倾斜角为 的
直线的普通方程是： y y0 tan(x x0 )
y
那么， 怎样建立直线的参数方程呢？
M0(x0,y0)

O
x
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学在直高考线总复习上人教任A版 ·取(理) 一点M(x,y),则
程中参数t的几何意义吗？ y
r e
r
r
解析: Q e是单位向量， e 1
uuuuuur r
由uuMuu0uuMr

te
r
r
M0M te t e = t
M
r M0 e
O
x
t的几何意义是：
| t |等于参数t对应的点M到定点M0 的距离。
当
uuuuuuur | M0M |
与
r e
同向时t>0；当 |uMuuu0uMuur|与
所以点M的坐标为 41 3
( ,) 16 4
3.解：设过点M(2,1)的直线段AB
的参数方程为 x 2 （t co为s参数）
y 1 t sin
带入双曲线方程，整理得，
(cos2 sin2 )t2 2(2cos sin )t 2 0
设t1,t2为上述方程的解，则