微积分八⑥
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求最值的一般方法：要求最大值和最小值，必须考 虑函数f(x,y)的所有驻点、偏导不存在的点以及区 域的边界点上的函数值，比较这些值，其中最大者 (或最小者)即为函数在D上的最大值(或最小值)
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例5 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在x轴、y轴和直线 x+y=6所围成的闭区域D上的最大值与最小值. 解方程组， 解 如图,先求z在D内的驻点， 2 f x ( x , y ) 2 xy(4 x y ) x y 0 2 2 f ( x , y ) x ( 4 x y ) x y0 y D 得区域D内的唯一驻点(2,1), 且f(2,1)=4. 再求f(x,y)在D边界上的最值， y 在边界x=0和y=0上f(x,y)=0， 在边界x+y=6上，即y=6-x上， x y6 于是f(x,y)=x2(6-x)(-2),由fx=4x(x-6)+2x2=0, D 得x1=0, x2=4 y=6-x|x=4=2 f (4,2) 64, o 比较后可知f(2,1)=4为最大值， f(4,2)=-64为最小值.
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求函数z=f(x,y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f x( x, y) 0, 求出实数解 , f y( x, y) 0 得驻点; 第二步 对每个驻点(x0,y0), 求出各二阶偏导数的值 A、B、C; 第三步 定出B2 -AC的符号，再判定是否是极值.
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如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理2(充分条件)设z=f(x,y)在其驻点(x0,y0)的某邻域内连 续且有二阶连续偏导数, 又 f x( x0 , y0 ) 0, f y( x0 , y0 ) 0.
( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 令f xx 则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下： ⑴ B2 -AC<0时具有极值,且当 A<0时有极大值, 当A>0时 有极小值； ⑵B2 -AC>0时没有极值; ⑶ B2 -AC=0时极值可能有也可能没有, 还需另作讨论. 列表 B2-AC + 0 如右 + A或C f(x0,y0) 极小值 极大值 非极值 待定
( x0 , y0 ) 0.即有如下的极值存在定 同理有 fy 理.
定理1(必要条件) 设z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数， 且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零： f x( x0 , y0 ) 0, f y( x0 , y0 ) 0.
费马引理的推广
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驻点：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点.
定理1结论：偏导数存在的函数之极值点必是驻点， 但驻点未必是极值点，如(0,0)是z=xy的驻点，但函数 在该点并无极值。 极值点究竟在哪里？ 答：与一元函数类似，二元函数的极值点可能在驻 点取, 也可能在偏导数不存在的点取得.故求极值点 可以到驻点及偏导数不存在的点中去寻找.
进价：1元 售价：x元 收益：x -1元/瓶 进价：1.2元 售价：y 元 收益：y -1.2元/瓶
每天的收益为 f ( x , y ) ( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y ) 求最大收益即为求二元函数的最大值。
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一、问题的提出 二、二元函数的 极值和最值
2.1、二元函数极值的定义 2.2、二元函数取极值条件 2.3、二元函数的最值
四、最小二乘法 五、小结
三、条件极值 拉格朗日乘数法
3.1、无条件极值 与条件极值 3.2、拉格朗日乘数法
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实例：某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1 元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估计,如果本地牌子 的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁, 80+6x-7y 瓶外地牌子的 果汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 可取得最大利润？
z
x
O
y
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例2 函数 z x 2 y 2 在 (0,0) 处有极大值． z
O
y
x
例3 函数 z xy在 (0,0) 处无极值．
z
z xy
O
1 1
yxLeabharlann 微积分八⑥2018/12/10
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2.2、二元函数取得极值的条件
设点( x0 , y0 )是z f ( x, y )的极值点, 易知x x0 也是一元函数 ( x) f ( x, y0 )的极值点, 故当 ( x) 可导时, 有 ( x0 ) 0, 即f x ( x0 , y0 ) 0.
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2.1、二元函数极值的定义 ⑴实例: 观察二元函数 z
xy e
x2 y2
的图形
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⑵二元函数极值的定义 若二元函数z=f(x,y)对于点(x0,y0)的某空心邻域内的所 有点(x,y)总有f(x,y)<f(x0,y0)，则称(x0,y0)是函数的极大 值点, f(x0,y0)是函数的极大值；若总有f(x,y)>f(x0,y0)， 则(x0,y0)是函数的极小值点, f(x0,y0)是函数的极小值. 极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点 称为极值点. 例1 函数z 3 x 2 4 y 2 在(0,0)处有极小值．
例4求函数f(x, y)= x - y 3x 3y 9x的极值。
3 3 2 2
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2.3、二元函数的最值
定义：设z f ( x, y )在区域D上有定义， ( x0 , y0 ) D， 若对( x, y ) D，有f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) （或f ( x, y ) f ( x0 , y0 )）， 则称f ( x0 , y0 )为z f ( x, y )在区域D上的最大值 （或最小值）。函数的最大值、最小值统称为极值， 最大值点、最小值点统称为最值点。