2020-2021学年高考数学（理）考点：三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )⎧⎫π概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．1．（2019•新课标Ⅱ）若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω= ) A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A 【解析】14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点， 322()44T ππππω∴=-==2ω∴=，故选A ．2．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以2π为最小正周期且在区间(4π，)2π单调递增的是( ) A ．()|cos2|f x x = B ．()|sin 2|f x x =C ．()cos ||f x x =D ．()sin ||f x x =【答案】A【解析】()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项； ()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项； ()|sin 2|f x x =在4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2π单调递增，可排除B ． 故选A ．3．（2019•新课标Ⅲ）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，2]5ππω+，()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+<，∴1229510ω<，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+， 若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<， 1229510ω<，故③正确． 故选D ．4．（2018•新课标Ⅲ）函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为( )A ．4π B ．2π C ．π D ．2π【答案】C 【解析】函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x xtan x x x ===++的最小正周期为22ππ=， 故选C ．5．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则( ) A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】函数22()2cos sin 2f x x x =-+ 22222cos sin 2sin 2cos x x x x =-++ 224cos sin x x =+ 23cos 1x =+ cos21312x +=+3cos2522x =+， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为35422+=，故选B ．6．（2017•天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈，其中0ω>，||ϕπ<．若5()28f π=，11()08f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则( ) A ．23ω=，12πϕ= B ．23ω=，1112πϕ=-C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ=【答案】A【解析】由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>， 又5()28f π=，11()08f π=，得11534884T πππ=-=， 3T π∴=，则23ππω=，即23ω=． 2()2sin()2sin()3f x x x ωϕϕ∴=+=+，由525()2sin()2838f ππϕ=⨯+=，得5sin()112πϕ+=． 52122k ππϕπ∴+=+，k Z ∈． 取0k =，得12πϕπ=<．∴23ω=，12πϕ=． 故选A ．7．（2017•新课标Ⅱ）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为：22ππ=．故选C ．8．（2017•新课标Ⅲ）函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为( )A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】函数111()sin()cos()sin()cos()sin()sin()536536533f x x x x x x x ππππππ=++-=++-+=+++66sin()535x π=+． 故选A ．9．（2017•新课标Ⅲ）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(2π，)π单调递减 【答案】D【解析】A ．函数的周期为2k π，当1k =-时，周期2T π=-，故A 正确，B ．当83x π=时，89cos()cos()cos cos313333x πππππ+=+===-为最小值，此时()y f x =的图象关于直线83x π=对称，故B 正确， C 当6x π=时，3()cos()cos 06632f ππππππ+=++==，则()f x π+的一个零点为6x π=，故C 正确，D ．当2x ππ<<时，54633x πππ<+<，此时函数()f x 不是单调函数，故D 错误， 故选D ．10．（2017•山东）函数2cos 2y x x =+的最小正周期为( ) A ．2πB ．23π C ．π D ．2π【答案】C【解析】函数2cos22sin(2)6y x x x π+=+，2ω=，T π∴=，故选C ．11．（2020•北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为__________． 【答案】2π【解析】解法1:()sin()cos sin cos cos sin cos f x x x x x x ϕϕϕ=++=++sin cos (1sin )cos x x ϕϕ=++)x θ+，其中cos θ，sin θ=所以()f x 2=， 所以22cos (1sin )4ϕϕ++=， 即22sin 4ϕ+=， 所以sin 1ϕ=， 所以22k πϕπ=+，k Z ∈时ϕ均满足题意，故可选0k =时，2πϕ=．解法2:sin()1x ϕ+，cos 1x ，又函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，所以当且仅当sin()1x ϕ+=，cos 1x =时函数()f x 取到最大值， 此时2x k π=，k Z ∈， 则sin()sin 1x ϕϕ+==， 于是22k πϕπ=+，k Z ∈时ϕ均满足题意，故可选0k =时，2πϕ=．故答案为：2π． 12．（2020•上海）函数tan 2y x =的最小正周期为__________． 【答案】2π【解析】函数tan 2y x =的最小正周期为2π， 故答案为：2π． 13．（2020•江苏）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是__________． 【答案】524x π=-【解析】因为函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度可得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈， 当0k =时，724x π=， 当1k =-时，524x π=-， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-， 故答案为：524x π=-， 14．（2019•北京）函数2()sin 2f x x =的最小正周期是__________． 【答案】2π【解析】2()sin (2)f x x =，11()cos(4)22f x x ∴=-+，()f x ∴的周期2T π=，故答案为：2π． 15．（2018•北京）设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立，可得：246k ππωπ-=，k Z ∈，解得283k ω=+，k Z ∈，0ω> 则ω的最小值为：23．故答案为：23． 16．（2018•江苏）已知函数sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值为__________． 【答案】6π-【解析】sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，232k ππϕπ∴⨯+=+，k Z ∈，即6k πϕπ=-， 22ππϕ-<<，∴当0k =时，6πϕ=-，故答案为：6π-．17．（2017•新课标Ⅱ）函数23()sin ([0,])42f x x x x π=-∈的最大值是__________．【答案】1【解析】2233()sin 1cos 44f x x x x x =-=-+-， 令cos x t =且[0t ∈，1]，则221(14y t t =-+=-+，当t =时，()1max f t =， 即()f x 的最大值为1， 故答案为：118．（2017•新课标Ⅱ）函数()2cos sin f x x x =+的最大值为__________．【解析】函数()2cos sin ))f x x x x x x θ=+==+，其中tan 2θ=，．．19．（2020•上海）已知函数()sin f x x ω=，0ω>．（1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=+--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域．【解析】（1）由于()f x 的周期是4π，所以2142πωπ==，所以1()sin 2f x x =． 令11sin 22x =，故1226x k ππ=+或526k ππ+，整理得43x k ππ=+或543x k ππ=+．故解集为{|43x x k ππ=+或543x k ππ=+，}k Z ∈． （2）由于1ω=， 所以()sin f x x =． 所以21cos2111()sin )sin()22cos2sin(2)222226x g x x x x x x x x ππ-=+--==-+=-+． 由于[0x ∈，]4π，所以22663x πππ+． 1sin(2)126x π+， 故11sin(2)62x π--+-，故1()02g x -． 所以函数()g x 的值域为1[,0]2-．20．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．【解析】22()2sin 4cos 11cos22(1cos2)13cos2f x x x x x x =-+=--++=-． （1）()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）g ()()3cos(2)3cos 22x xx f x ==-=-，[0x ∈，]3π，3cos [3x ∴-∈-，3]2-．即()g x 在区间[0，]3π的最大值为32-，最小值为3-．1．（2020•东湖区校级模拟）若函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为( ) A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】把函数()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-，根据所得图象的一条对称轴方程是3x π=，可得：332k πππωπ-=+，k z ∈，可得：532k ω=+， 由于：0ω>，故ω的最小值为52． 故选C ．2．（2020•镜湖区校级模拟）函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，给出以下结论，则其中正确的为( )①()f x 的最小正周期为2；②()f x 图象的一条对称轴为直线12x =-；③()f x 在13(2,2),44k k k Z -+∈上是减函数；④()f x 的最大值为A ．A ．①④B ．②③C ．①③D ．③④【答案】C【解析】由函数()cos()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示， 可得512()244T =⨯-=，①正确；由图知，左侧第一个零点为：13144-=-，所以对称轴为：3114424x -+==-，所以12x =-不是对称轴，②不正确； ()f x 在1(24k -，32)4k +，k Z ∈上是减函数；③正确； 因为A 正负不定，()f x 的最大值为||A ．所以④不正确 综上可得：①③正确． 故选C ．3．（2020•二模拟）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[π-，]π上单调递增，则ω的取值可以是( ) A ．1 B ．12C ．25 D ．15【答案】D【解析】在[π-，]π上，[55x ππωωπ+∈-+，]5πωπ+， 函数()sin()(0)5f x x πωω=+>在[π-，]π上单调递增，52ππωπ∴-+-，且52ππωπ+，求得3010ω<， 故选D ．4．（2020•天津二模）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->，若函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为( ) A ．713(,)66B ．713(,]66C ．611(,)56D ．611(,]56【答案】B 【解析】(0,)x π∈时，可得：(66x ππω-∈-，)6πωπ-． 要是函数()f x 有且只有两个零点， 则26ππωππ<-，解得：71366ω<． 故选B ．5．（2020•香坊区校级一模）已知函数()2sin(2)(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为2π，函数()f x 图象关于直线6x π=对称，且满足函数()f x 在区间[,]66ππ-上单调递增，则(ϕ= ) A ．3πB ．3π-C ．6π-D ．6π 【答案】D【解析】根据题意，函数()2sin(2)(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为2π，即22T ππω==，则1ω=，则()2(2)f x sin x ϕ=+， 函数()f x 图象关于直线6x π=对称，且满足函数()f x 在区间[,]66ππ-上单调递增， 则函数()f x 在6x π=时取得最大值，则有2262k ππϕπ+=+，()k Z ∈变形可得：6k πϕπ=+，又由||2πϕ<，即22ππϕ-<<，则6πϕ=，故选D ．6．（2020•新华区校级模拟）函数()2cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><在区间[,]36ππ-上单调，且()()()36f f x f ππ-恒成立，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A ．1BCD 【答案】A【解析】由题意知，()2632T πππ=--=，即T π=，∴22Tπω==，即()2cos(2)f x x ϕ=+． 因为6x π=时，()f x 取得最大值，所以()2cos()263f ππϕ=+=，即cos()13πϕ+=，||2πϕ<，∴3πϕ=-，即()2cos(2)3f x x π=-，(0)1f ∴=， 故选A ．7．（2020•松原模拟）已知函数()sin(6)4f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)24π-对称B ．函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称C ．若将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移24π个单位长度，则得函数()sin6g x x =的图象D ．函数()f x 在区间7[,]2424ππ上单调递减 【答案】D【解析】对于函数()sin(6)4f x x π=+，令24x π=-，可得()0f x =，故函数()f x 的图象关于点(,0)24π-对称，故A 正确；令8x π=-，可得()1f x =-，是最小值，故函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称，故B 正确；将函数()sin(6)4f x x π=+的图象沿x 轴向右平移24π个单位长度，可得函数sin(66)sin 6()244y x x g x ππ=-+==的图象，故选项C 正确； 在区间7[,]2424ππ上，6[42x ππ+∈，2]π，()f x 没有单调性，故D 错误， 故选D ．8．（2020•二模拟）已知函数()sin()(0)5f x x πωω=+>的最小正周期为2，则17()15f 的值为( )A ．12B C ．12-D ． 【答案】D【解析】函数()sin()(0)5f x x πωω=+>的最小正周期为2，则22πω=，解得ωπ=；所以17174()sin()sin sin 1515533f ππππ=+==-=． 故选D ．9．（2020•黄州区校级二模）若函数()sin(2)3f x x π=-，则( )A ．f （1）f >（3）f >（2）B ．f （1）f >（2）f >（3）C ．f （2）f >（1）f >（3）D ．f （3）f >（2）f >（1）【答案】B【解析】对于函数()sin(2)3f x x π=-，f （1）sin(2)3π=-，f （2）sin(4)3π=-，f （3）sin(6)3π=-，2632πππ<-<，∴12f <（1）1<； 24332πππ<-<，0f ∴<（2）12<；36223πππ<-<，f ∴（1）0<， 故有f （1）f >（2）f >（3）， 故选B ．10．（2020•碑林区校级模拟）关于函数sin 2()2cos xf x x=+有下列四个结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③x R ∀∈，1()2f x <；④()f x 在区间(,)44ππ-内单调递增．其中所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】D 【解析】函数sin 2()2cos xf x x=+，函数的定义域为x R ∈，sin 2()()()2cos()x f x f x x --==-+-，所以函数sin 2()2cos xf x x =+为奇函数．故①正确．sin(24)(2)()2cos(2)x f x f x x πππ++==++，所以函数的最小值正周期为2π，故函数为周期函数，故②正确．当54x π=时，5sin512()5422cos 4f πππ==>+，x R ∴∀∈，1()2f x <不对；故③错误； 由sin 2y x =在(0,)4π单调递增，而cos y x =在(0,)4π单调递减，可知()f x 在(0,)4π单调递增，∴函数sin 2()2cos x f x x =+在(0,)4π单调递增，根据①可知()f x 是奇函数，()f x ∴在区间(4π-，0)单调递增，则()f x 在区间(,)44ππ-内单调递增；故④正确；故选D ．11．（2020•全国I 卷模拟）直线y a =与函数()tan()(0)4f x x πωω=+>的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在(m -，)(0)m m >上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．(0，]4πB ．(0，]2πC ．(0，3]4π D ．(0，3]2π 【答案】B【解析】直线y a =与函数()tan()4f x x πω=+图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则2T π=，所以12Tπω==， 所以1()tan()24f x x π=+，由12242k x k πππππ-<+<+， 解得32222k x k ππππ-<<+，()k Z ∈； 所以函数()f x 在3(2π-，)2π上是单调增函数； 又()f x 在(,)m m -上是单调增函数， 即(m -，3)(2m π⊆-，)2π， 解得02mπ<；所以m 的取值范围是(0，]2π．故选B ．12．（2014•泸州二模）下列不等式成立的是( ) A ．3sin()sin()105ππ->- B ．sinsin1810ππ>C ．9tan()tan 86ππ> D ．723cos()cos()45ππ->- 【答案】D 【解析】由于302105πππ-<-<-<，而函数sin y x =在区间(2π-，0)上是增函数，故有3sin()sin()105ππ-<-，故排除A ． 由于018102πππ<<<，而函数sin y x =在区间(0，2π)上是增函数，故有sin()sin()1810ππ<，故排除B ． 由于9tan tan 88ππ=，0086ππ<<<，而函数tan y x =在区间( 0，2π，)上是增函数，故有tantan86ππ<，即9tantan 86ππ<，故排除C ． 由于7cos()cos 44ππ-=，2333cos()cos()cos555πππ-=-=，且函数cos y x =在区间(0,)π上是减函数，故3coscos45ππ>，即723cos()cos()45ππ->-，故D 正确， 故选D ．13．（2013•资阳二模）下列不等式成立的是( ) A ．9tan()tan()86ππ> B ．3sin()sin()105ππ->- C ．sinsin1810ππ> D ．723cos()cos()45ππ->- 【答案】D 【解析】由于9tan tan 88ππ=，函数tan y x =在( 0，)2π上是增函数，故有tan tan 86ππ<， 即9tan()tan()86ππ<，故排除A ． 由于函数sin y x = 在(2π-，0)上是增函数，3105ππ-<-，3sin()sin()105ππ∴-<-，故排除B ． 由于函数sin y x = 在(0,)2π上是增函数，sin sin 1810ππ∴<，故排除C ．由于7cos()cos 44ππ-=，2333cos()cos()cos555πππ-=-=，函数cos y x =在(0,)π上是减函数， 3coscos45ππ∴>，即723cos()cos()45ππ->-，故D 正确， 故选D ．14．（2013•新津县校级一模）函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为( )A ．4π B ．2π C ．π D ．2π【答案】B【解析】由正切函数的周期公式得：2T π=．故选B ．15．（2020•辽宁模拟）函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为( ) A ．(2,0)k π，k Z ∈ B ．(,0)k π，k Z ∈ C ．(,0),2k k Z π∈ D ．(,0),4k k Z π∈ 【答案】【解析】由于D 函数tan y X =的对称中心为(,0)()2k k Z π∈， 令22k x π=，解得4k x π=， 故函数tan 2y x =的对称中心为(,0)()4k k Z π∈，故选D ．16．（2013•宝鸡二模）已知正切函数tan y x =的图象关于点(,0)θ对称，则sin (θ= ) A ．1-或0 B ．1或0 C ．1-或0或1 D ．1或1-【答案】C【解析】正切函数tan y x =的图象关于点(,0)θ对称，(,0)θ∴是正切函数tan y x =的图象的对称中心， 2k πθ∴=，k z ∈． 故sin 1θ=-，0 或1， 故选C ．17．（2020•靖远县四模）已知直线13x =-是函数()3sin()(0)f x x πϕϕ=+>图象的一条对称轴，则ϕ的最小值是( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】由题意，可得3sin()33πϕ-+=±，则()32k k Z ππϕπ-+=+∈，即5()6k k Z πϕπ=+∈， 因为0ϕ>，所以56min πϕ=． 故选D ．18．（2020•河南模拟）函数()2sin(3)cos(3)63f x x x ππ=++-的图象的一条对称轴方程为( )A ．29x π=B ．3x π=C ．49x π=D ．59x π=【答案】C 【解析】因为3(3)632x x πππ+--=， 所以33623x x πππ+-=-，则()2sin(3)cos(3)2sin(3)cos(3)63662f x x x x x πππππ=++-=+++- 2sin(3)sin(3)3sin(3)666x x x πππ=+++=+，所以其图象的对称轴方程为3()62x k k Z πππ+=+∈，解得()93k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，49x π=． 故选C ．19．（2020•河南模拟）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的一条对称轴是3x π=-，且()f x 在(,)126ππ上是单调函数，则ω的最大值为( )A ．5B ．6C ．10D ．12【答案】D【解析】函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的一条对称轴是3x π=-，32k ωππϕπ∴-+=+，即23k πωπϕπ=++，k Z ∈．且()f x 在(,)126ππ上是单调函数，显然对称轴在此区间的左侧． ()23232k n ππωππωππ∴-+++-，n Z ∈，两边同时乘以1-，可得23232k n ππωππωππ----+①，且()26232k n ππωππωππ++++②，再把①②这2个式子相加， 可得12πωπ，12ω∴，即ω得最大值为12，故选D ．20．（2020•重庆模拟）函数sin(1)y x =-的图象( ) A ．关于直线1x =对称 B ．关于点(1,0)对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【答案】B【解析】对于函数sin(1)y x =-，令1x =，可得0y =， 故它的图象关于点(1,0)对称， 故选B ．21．（2020•乐山模拟）已知点(,0)24A π在函数()cos(2)(0f x x ωϕω=+>且*N ω∈，0)ϕπ<<的图象上，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴．若()f x 在区间(,)63ππ内单调，则(ϕ= )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】由题意得，62484T πππ-=，得12428ππω⨯，得2ω，又因为()f x 在区间(,)63ππ内单调，所以362T ππ-，得12226ππω⨯，得3ω．所以23ω．又因为*N ω∈，所以2ω=或3． 当2ω=时，cos(4)024πϕ⨯+=，得3k πϕπ=+，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，此时直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，且()f x 在区间(,)63ππ内单调． 所以3πϕ=．当3ω=时，cos(6)024πϕ⨯+=，得4k πϕπ=+，又0ϕπ<<，所以4πϕ=，此时cos(6)164ππ⨯+=≠±， 所以直线6x π=不是函数()f x 的图象的一条对称轴．所以2ω=，3πϕ=，故选B ．22．（2020•朝阳区二模）已知函数()sin(2)6f x x π=-，则下列四个结论中正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于5(12π，0)中心对称B ．函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称C ．函数()f x 在区间(,)ππ-内有4个零点D ．函数()f x 在区间[2π-，0]上单调递增【答案】C【解析】对于函数()sin(2)6f x x π=-，令512x π=，求得()f x ，故函数()f x 的图象不关于5(12π，0)中心对称，故排除A ；令8x π=-，求得5()sin()12f x π=-，不是最值，故函数()f x 的图象不关于直线8x π=-对称，故排除B ；在区间(,)ππ-上，132(66x ππ-∈-，11)6π，当226x ππ-=-，π-，0，π 时，()0f x =，故函数()f x 在区间(,)ππ-内有4个零点，故C 正确； 在区间[2π-，0]上，72[66x ππ-∈-，]6π-，()f x 没有单调性，故D 错误， 故选C ．23．（2020•广西二模）已知函数()sin()(0)4f x x πωω=->，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，那么函数()y f x =的图象( ) A ．关于点(16π-，0)对称B ．关于点(16π，0)对称C ．关于直线16x π=对称D ．关于直线4x π=-对称【答案】B【解析】相邻两条对称轴之间的距离等于4π， ∴42T π=， 22T ππω∴==，4ω∴=，()sin(4)4f x x π∴=-．令16344216k x k x πππππ+-=+⇒=，k Z ∈； 即对称轴为：16316k x ππ+=，k Z ∈； 故CD 均错误； 令164416k x k x ππππ+-=⇒=，k Z ∈； 即对称中心为：16(16k ππ+，0)，k Z ∈；即A 错，B 对； 故选B ．24．（2020•商洛模拟）若函数()2cos(2)13f x x π=--在[0，]m 上的最小值小于零，则m 的取值范围为( ) A ．2(3π，4]3π B ．2(3π，)+∞ C ．(3π，2]3πD ．(3π，)+∞【答案】D 【解析】[0x ∈，]m ，2[33x ππ∴-∈-，2]3m π-，设23t x π=-，则[3t π∈-，2]3m π-，作出函数2cos 1y t =-的图象如图， 由2cos 10y t =-=得1cos 2t =， 则23t k ππ=+或23t k ππ=-+，则当0t >时的，第一个零点为3t π=，即当33tππ-时，2cos 10y t =-，要使2cos 1y t =-在[3t π∈-，2]3m π-上的最小值小于0，则只需要233m ππ->，即可，得223m π>，得3m π>， m ∴的取值范围为(3π，)+∞． 故选D ．25．（2020•广州一模）设函数1()2cos()23f x x π=-，若对于任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x 成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】函数1()2cos()23f x x π=-，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x ，1()f x ∴是函数的最小值，2()f x 是函数的最大值，12||x x -的最小值就是函数的半周期，1221222T ππ=⨯=； 故选C ．26．（2019•西湖区校级模拟）函数cos ,[,]62y x x ππ=∈-的值域是( )A ．[0，1]B ．[1-，1]C ．[0，3]2D ．1[2-，1]【答案】A【解析】由余弦函数的单调性，函数在[,0]6π-，上是增，在[0,]2π上减，故其最大值在0x =处取到为1 最小值在2x π=处取到为0，故其值域是[0，1]；故选A ．27．（2020•广西一模）已知函数2()2cos()1(0)3f x x πωω=+->的一个零点是4x π=，则当ω取最小值时，函数()f x 的一个单调递减区间是( )A ．[3π-，]6π- B ．[12π-，]6πC ．[12π，]3πD ．[3π，7]12π【答案】D 【解析】()f x 的一个零点是4x π=，由()04f π=得21cos(()432ππω+=，得22433k πππωπ+=±，即84k ω=-或483k ω=-，k Z ∈，0ω>，ω∴的最小值为4ω=，此时2()2cos(4)13f x x π=+-， 由22423k x k ππππ++，k Z ∈，得1126212k x k ππππ-+，k Z ∈，当1k =时，()f x 的一个单调递减函数区间为[3π，7]12π，故选D ．28．（2020•咸阳一模）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈【答案】C【解析】解224k x k πππππ--得，312244k x k -+， ∴函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是31[2,2]()44k k k Z -+∈． 故选C ．29．（2020•新疆一模）函数()cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<在区间[,]66ππ-单调递减，在区间(,0)6π-有零点，则ϕ的取值范围是( ) A ．[,]62ππB ．25[,)36ππ C ．2(,]23ππD ．[,)32ππ【答案】C【解析】由222k x k πϕππ++，k Z ∈， 得222k x k ϕϕπππ--+，k Z ∈，即函数的单调递减区间为[2k ϕπ-，]22k πϕπ+-，k Z ∈， ()f x 在区间[,]66ππ-单调递减，26k ϕππ∴--且，226k πϕππ+-，即2623k k ϕππϕππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，得623k k πϕπππ++，k Z ∈，即22233k k πππϕπ++，k Z ∈， 0ϕπ<<，∴当0k =时，233ππϕ， 由22x k πϕπ+=+得224k x πϕπ=-+， ()f x 在区间(,0)6π-有零点，∴满足06224k ππϕπ-<-+<， 当0k =时，0624πϕπ-<-+<，得526ππϕ<<， 综上223ππϕ<， 故选C ． 二、填空题30．（2020•道里区校级一模）若14x π=，234x π=是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>两个相邻的零点，则ω=__________． 【答案】2 【解析】因为14x π=，234x π=是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>两个相邻的零点， 所以232()44T ππππω==-=， 解得2ω=． 故答案为：2．31．（2019•西湖区校级模拟）函数3tan()(0)6y x πωω=+>的最小正周期是2π，则ω= 2 ，该函数的单调递增区间为__________． 【答案】2；(23k ππ-，)26k ππ+，k Z ∈【解析】函数3tan()(0)6y x πωω=+>的最小正周期是2ππω=，则2ω=，令2262k x k πππππ-<+<+，求得2326k k x ππππ-<<+， 故函数的增区间为(23k ππ-，)26k ππ+，k Z ∈， 故答案为：2；(23k ππ-，)26k ππ+，k Z ∈． 32．（2019•闵行区校级一模）在(0,2)π内使33sin cos x x >成立的x 的取值范围是__________． 【答案】(4π，5)4π 【解析】33sin cos x x >， 33sin cos 0x x ∴->，即22(sin cos )(sin sin cos cos )0x x x x x x -++>， 1(sin cos )(1sin 2)2x x x ∴-+；又11sin 202x +>恒成立，sin cos 0x x ∴->，)04x π->，(2,2)4x k k ππππ∴-∈+，解得(24x k ππ∈+，52)4k ππ+，k Z ∈； 又(0,2)π，∴使33sin cos x x >成立的x 的取值范围是(4π，5)4π． 故答案为：(4π，5)4π．33．（2015•上海模拟）若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a =__________． 【答案】2±【解析】函数()2cos(4)17f x x π=+-的周期是2π；函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期是：||a π；因为周期相同，所以||2a ππ=，解得2a =±故答案为：2±．34．（2020•河南模拟）函数()3tan(2)3f x x π=+的图象的对称中心是__________．【答案】(46k ππ-，0)，k Z ∈ 【解析】对于函数()3tan(2)3f x x π=+，令232k x ππ+=，求得46k x ππ=-，故函数的图象的对称中心是(46k ππ-，0)，k Z ∈， 故答案为：(46k ππ-，0)，k Z ∈． 35．（2019•新吴区校级模拟）正切曲线tan y x =的对称中心的坐标是__________． 【答案】(2k π，0)，k Z ∈ 【解析】根据正切函数图象的性质知， 曲线tan y x =的对称中心的坐标是(2k π，0)，k Z ∈． 故答案为：(2k π，0)，k Z ∈． 36．（2020•甘肃模拟）已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[a ，]b ，则b a -=__________．【答案】3【解析】已知函数cos y x =在[,]3ππ上单调递减，当3x π=时，函数的1212max y =⨯=，当x π=时函数的2min y =-， 即2a =-，1b =， 所以3b a -=． 故答案为：3．37．（2020•青浦区二模）已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++．（1）若函数()y f x =的图象关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值； （2）若存在05[0,]12x π∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为2()(2sin )cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x x π===+所以函数()f x 的图象的对称轴由下式确定：2,32x k k Z πππ+=+∈从而,212k x k Z ππ=+∈．由题可知当0k =时，a 有最小值12π；（2）当05[0,]12x π∈时，072[,]336x πππ+∈，从而01sin(2)[,1]32x π+∈-，则0()[1f x ∈-，2]由0()20mf x -=可知：1m 或2m -． 38．（2017•浙江二模）已知直线518x π=是函数()sin(3)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴． （1）求ϕ；（2）求函数()()6y f x f x π=+-，(0,)3x π∈的值域．【解析】（1）直线518x π=是函数()sin(3)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴， 53182k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，3πϕ∴=-，()sin(3)3f x x π=-．（2）函数()()sin(3)sin[3()]sin(3)cos(3)636333y f x f x x x x x ππππππ=+-=-+--=-++11sin3cos3)224x x x x x x x π=+==+，(0,)3x π∈，3(44x ππ∴+∈，5)4π，sin(3)(4x π∴+∈，1]，y ∴∈．39．（2014•南京模拟）已知函数2()2sin cos 2f x x x x =+ （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）当(0,)2x π∈时，若函数()()g x f x m =+有零点，求m 的范围；（3）若02()5f x =，0(,)42x ππ∈，求0sin(2)x 的值．【解析】（1）()sin 222sin(2)23f x x x x π=+=++，令232x k πππ+=+可得：,122k x k Z ππ=+∈， ∴对称轴方程为：,122k x k Z ππ=+∈． （2）(0,)2x π∈ 42(,)333x πππ+∈，∴sin(2)(3x π+∈，∴2sin(2)2(2,4]3x π++∈，函数()()g x f x m =+有零点，即()f x m =-有解．即(2,4],[2)m m -∈∈-． （3）02()5f x =即0222sin(2)22355x π++=+=即044sin(2)355x π+=-=-，0(,)42x ππ∈，∴0542(,)363x πππ+∈， 又04sin(2)35x π+=-，∴042(,)33x πππ+∈， ∴03cos(2)35x π+=-， ∴00sin 2sin[(2)]33x x ππ=+-00sin(2)cos cos(2)sin 3333x x ππππ=+-+413()()525=-⨯--=。