过度的简化实际情况
工程师和数学家都在为能够解 决现实中连续化的问题而努力
工程师处理结构问题的一个标准方法是： 计算每一个单元的力和位移的关系
根据结构在“结点”或者“连接处”的局部 平衡方程建立总体平衡方程
测试函数
有限差 Richardson 1910 Liebman 1918
变分法
瑞雷法1870 李兹法1909 结构类比替代法
代入上面两个整体坐标和局部坐标 下杆端力和位移的转换公式：
TF e k eT e
两边同时左乘T-1
F e T 1k eT e F e k e e
由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我 们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。
e Fi e kii F e k e j ji e ie kij e ke jj j
有限元简介
人类思维的局限性难以 把握越来越复杂的事物！
离散化的思想
1. 把整个系统分割成独立的“成分”或者“单 元”。
2. 然后把这些独立的“成分”重新组装还原 为原系统，研究原系统的性质。
这种普通的方法常常被工程师、科学家、 甚至是经济学家使用。
两种思维方式
使用有限数量的定义明确的“成分”建立模 型——离散化 在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或 者平衡条件——连续化（无穷小也可看成有限 个单元） 随着计算机的发展，离散化的处理 问题可以比较容易的解答，即使单 元的数量非常多。 而连续化的问题仅仅适用于手算计算
e
写出力和位移的关系
这称
需要将单元在局部坐标 下的刚度距阵变换到整 体坐标下的刚度距阵
10－3 单元刚度距阵的坐标变换
杆端力的变换
写成矩阵形式
F TF
e
e
杆端位移
T
e
e
T
1
T
T
局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：
F e k e e
F2 F F
① 2
② 2
F2 F2① F2②
求杆端力向量F
Fi k k e Fj k k
e e e ii i e e ji i e ij e jj e j e j
① ① ① ① F2① k21 1 k22 2 ② ② ② ② F2② k22 2 k23 3
根据结点处的变形协调
1 2 3 4
2① 2② 2
1① 1 3③ 3
代入F2
得到以位移表示的结点2的平衡方程
① ① ② ② F2 k21 1 k22 k22 2 k23 3
e
Fi k k e Fj k k
e e e ii i e e ji i e ij e jj e j e j
10-4 结构的原始刚度矩阵
矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。 为了很好的统计未知量并建立各个结点之间 的联系关系，需要对单元和结点进行编号
10－2 单元刚度矩阵
12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e Fsj 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l
e
6 EI e 2 EI e 6 EI e 4 EI e M sj 2 vi i 2 v j j l l l l
考虑结构各个结点处的平衡条件
2结点处的平衡条件：
F
x
0
F
y
0
M 0
① ② Fx 2 Fx 2 Fx 2 ① ② 矩阵形式 Fy 2 Fy 2 Fy 2 M M ① M ② 2 2 2
① ② Fx 2 Fx 2 Fx 2 ① ② Fy 2 Fy 2 Fy 2 M M ① M ② 2 2 2
自顶向下，逐步求精。
确定位移分量和力分量 4个结点
1 2 3 4
u1 u2 1 v1 , 2 v2 1 2
F1 Fx1 Fx 2 F 2 F F1 F , F y1 Fy 2 2 M M F3 1 2 F4
e F F xj Fe Fe e Fi F yj j M e M j
e xi e yi e i
i
e kii e k k e ji
j
e i kij j ke jj
e u xj u xi e e e e i v yi j v yj e e i j
加权残数 高斯1795 伽辽金1909 Biezenokoch 1923
Hrenikoff 1941 McHenry 1943 Newmark 1949
定向连续单元
精确的连续 测试函数
柯朗 1943
变分有限差
Varga 1962
Argyris 1949 Turner 1956
现在的有限元方法
第十章 矩阵位移法
10.1 概述 力法和位移法都是传统的结构力学基本方法， 适合于手算计算。 电算的方法是“结构矩阵分析”，它更适合计 算机编程。 杆件结构的矩阵分析——杆有限元法 1) 把结构分解为有限个较小的单元，即进 行所谓离散化。 分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩 阵——单元分析。
2) 把各单元又集合成原来的结构，这就要各单 元满足原结构的集合条件。——整体分析。