平面向量得实际背景及基本概念
1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。
２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。
数量与向量得区别：
数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。
4.有向线段得三要素:起点,大小,方向
５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向
(2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段
比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。
②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。
③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示；
②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;
７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念：
长度为零得向量称为零向量,记为:0。
长度为1得向量称为单位向量。
９、平行向量定义:
①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。
说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量
长度相等且方向相同得向量叫相等向量、
说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等;
(３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．．
A(起点)
B
(终点)
a
向线段得起点无关．．．．．．．．、 1１、共线向量与平行向量关系：
平行向量就就就是共线向量，这就就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段得起点无关．．．．．．．．．．)． 说明:(1)平行向量就就是可以在同一直线上得。
（2）共线向量就就是可以相互平行得。
例１、判断下列说法就就是否正确,为什么？ (1)平行向量就就是否一定方向相同? (２）不相等得向量就就是否一定不平行? (３)与零向量相等得向量必定就就是什么向量？ (4)与任意向量都平行得向量就就是什么向量？
(5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定就就是什么向量? (６)两个非零向量相等当且仅当什么？ (7)共线向量一定在同一直线上吗？
解析:(1)不就就是,方向可以相反，可有定义得出。
（2）不就就是，当两个向量方向相同得时候,只要长度不相等就不就就是相等向量，但就就是就就是平行得。
(３)零向量 (4)零向量
(5）共线向量（平行向量 (6)长度相等且方向相同 (7)不一定,可以平行。
例2、下列命题正确得就就是（ ) A 、a 与ｂ共线,ｂ与c 共线,则a 与c 也共线
Ｂ、任意两个相等得非零向量得始点与终点就就是平行四边形得四顶点
C 、向量a 与b 不共线,则a 与b 都就就是非零向量
D 、有相同起点得两个非零向量不平行
解:由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究得向量就就是自由向量,所以两个相等得非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形,根本不可能就就是一个平行四边形得四个顶点,所以B 不正确；向量得平行只要方向相同或相反即可,与起点就就是否相同无关,所以D 不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a 与b 不都就就是非零向量,即a 与b 至少有一个就就是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有ａ与ｂ共线,不符合已知条件,所以有a 与b 都就就是非零向量，所以应选C 、 例３、如右图所示,设Ｏ就就是正六边形A ＢC ＤEF 得中心,
分别写出图中与向量 相等得向量。
解:按照向量相等得定义可知：
B
A
O
D E
F
向量得加法运算及其几何意义
1、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、
2、三角形法则(记忆口诀:“首尾相接,从头指尾”) ３、三角形法则得来由
如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作=ａ,=ｂ,则向量叫做ａ与ｂ得与,记作a+b ,即 a+ｂ,规定:a + 0－= 0 + ａ
4、向量加法得字母公式:
5、平行四边形
法则
图1 如图１,以同一点O 为起点得两个已知向量a 、b 为邻边
作平行四边形，则以Ｏ为起点得对角线就就就是ａ与b 得与、我们把这种作两个向量与得方法叫做向量加法得平行四边形法则、
６、平行四边形法则与三角形法则得区别:
（1）平行四边形法则就就是将两个向量得起点放在一起做出平行四边形，最终与向量得结果得起点 与两个分向量得起点就就是同一起点。
（2）三角形法则要求第一个向量终点与第二个向量得起点连接在一起,然后连接第一个向量得起点与第二个向量得终点组成三角形，最终与向量得结果就就是:由第一个向量得起点指向第二个向量得终点。
7.一般结论
当ａ,b 不共线时,|a ＋b ｜<|ａ｜＋|b |（即三角形两边之与大于第三边）; 当ａ,b 共线且方向相同时,|a +b |＝|a |+|b |;
当a ,b 共线且方向相反时,｜ａ+b |＝|a |－|b |（或｜ｂ|－｜a |)、其中当向量a 得长度大于向量b 得长度时,｜a +b |=|a |－|b |;当向量a 得长度小于向量b 得长度时,|ａ+ｂ|=｜b |-|ａ|、 一般地,我们有｜a +b |≤|a |＋|b ｜、 二、例题讲解
例1、已知正方形ＡBCD 得边长为1, = ａ, = b , = c ,则| a ＋ｂ＋ｃ|等于( )
A 、0 ﻩ
B 、3 ﻩ
C 、2 ﻩ
D 、2 、
解: D
A
B
C
a +b
a +b
a
a
b
b
a
ｂ
b a+b
a
作出正方形ABCD得图形如上图所示，那么:
a+b=c,所以ａ+b+c＝２c,所以｜ａ+b+c|＝|2c|=2|c｜=2,所以选D、
例2、化简:(１)+;(２）+＋;（３)++＋+、
例３、如图所示,已知矩形AＢCD中，||=4,设＝ａ,=b,＝ｃ,试求向量a+b+c得模、
解：过Ｄ作ＡC得平行线,交ＢC得延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE、
∴四边形AＤＥC为平行四边形、
∴＝,=、
于就就是a+b+c=++=+==+=2,
∴|a+b＋c|＝２|｜=8、
1、判断下列命题就就是否正确,若不正确,请简述理由。
①向量ＡB与ＣD就就是共线向量,则Ａ、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等；
③任一向量与它得相反向量不相等;
④一个向量方向不确定当且仅当模为０；
⑤共线得向量,若起点不同,则终点一定不同。
２、(１）、判断下列式子就就是否正确，若不正确请指出错误原因、
①=0 ②、－＝0
（2）若将所有单位向量得起点归结在同一起点,则其终点构成得图形就就是______＿____、（3）将所有共线向量移至同一起点,终点构成得图形就就是什么图形?__＿＿＿______
3、下列说法正确得就就是( )
Ａ、平行向量就就是方向相同得向量B、长度相等得向量叫相等向量
C、零向量得长度为０Ｄ、共线向量就就是在同一条直线上得向量
４、若非零向量与共线,则以下说法下确得就就是( )
A、与必须在同一直线上
B、与平行,且方向必须相同`
C、与平行,且方向必须相反Ｄ、与平行
1、在四边形中,若,则四边形得形状一定就就是（)
(A）平行四边形（B）菱形（Ｃ) 矩形（D) 正方形
２、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同得路程,设两列火车得位移向量分别为与，那么下列命题中错误得一个就就是( )
A、与为平行向量
B、与为模相等得向量
C、与为共线向量
D、与为相等得向量
3、下列命题中正确得就就是( )
A、单位向量都相等
B、长度相等且方向相反得两个向量不一定就就是共线向量
C、若a,b满足｜ａ|>|b|且ａ与b同向，则a>b
D、对于任意向量a、ｂ,必有|a+ｂ|≤|a|+|b|
平面向量得加法运算
1、用三角形法则与平行四边形法则分别画出
2、下列命题中正确得就就是( )
A、单位向量都相等
B、长度相等且方向相反得两个向量不一定就就是共线向量
C、若a,ｂ满足|ａ｜>|ｂ|且a与b同向,则a＞b
Ｄ、对于任意向量a、b,必有｜a+ｂ|≤|ａ|+|ｂ｜
3、已知正方形得边长为1, =a,=ｂ,=ｃ,则|ａ+ｂ+c|等于( )
Ａ、０Ｂ、3 Ｃ、 D、2
４、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同得路程,设两列火车得位移向量分别为与，那么下列命题中错误得一个就就是
A、与为平行向量Ｂ、与为模相等得向量
C、与为共线向量
D、与为相等得向量
5、在四边形中,若，则四边形得形状一定就就是（ )
(A) 平行四边形(Ｂ）菱形 (C）矩形 (Ｄ) 正方形
６、已知正方形得边长为1,,,，则等于 ( )
（A) 0 (B） 3 (C) (Ｄ)
7、如果,就就是两个单位向量,则下列结论中正确得就就是（)
(A) (Ｂ）（C) (D)。