(2)∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，
∴∠P＋∠A＝90°，∴∠P＝∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴ AP ＝ AO ，即 1 BP ＝ 2 ，ADAB4 Nhomakorabea1
∴BP＝7.………………………………(8分)
满分技法►与切线有关的证明与计算，最常用的辅助线是连 接经过切点的半径，利用直径构造直角三角形，利用圆周角 相等转移角的位置等．运用三角形全等、三角形相似、勾股 定理、锐角三角函数等知识进行证明与计算．
②连接BF，如图．
在Rt△AFB中，cos∠FAB＝ ＝ ，∴AF＝8× ＝ .
在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4，∴CE＝3.
∵AB⊥FM， ＝ ，∴∠5＝∠4.
∵FB∥DE，∴∠5＝∠E＝∠4.
又∵∠1＝∠2，
∴△AFN∽△AEC.
∴ ＝ ，即 ＝ . ∴FN＝ .
类型③与扇形面积有关的证明与计算
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ADC＝∠ACE.
又∵∠CAE为公共角，∴△EAC∽△CAD.
∴
AC AD
＝
AE AC
，
∴AD·AE＝AC2＝( 10 )2＝10.………………………(10分)
(3) 证明：如图，在BD上取一点N，使得BN＝CD.
A．6π－ 9 3 B．6π－ 9 3 C．12π－ 9 3
2
2
D. 9
4
12．[2018·广西]如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点 为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三 角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积) 为( D)
A． 3 B. 3 C. 2 3 D. 22 3
在△ABN和△ACD中，
∴△ABN △ACD(SAS)．∴AN＝AD.
又∵AH⊥BD，∴NH＝DH. 又∵BN＝CD，∴BH＝BN＋NH＝CD＋DH.……(15分)
满分技法►圆的性质综合运用题中，经常用到的重要性质 及技法：①运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对 相关结论作合理的猜测；②利用垂径定理，通过在由半弦、 半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三 角函数进行计算；③在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、 弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；④由直径所 对的圆周角是直角构造直角三角形；⑤相似三角形、锐角 三角函数、勾股定理是计算线段长度及其线段数量关系的 重要手段．
解：∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE＝DF＝3. ∵BE＝ ，∴tan∠DBE＝ ＝ ， ∴∠DBE＝30°＝∠ABD， ∴∠AOD＝2∠ABD＝60°， ∴OF＝ ＝ ，OD＝2OF＝ ，
∴S△ODF＝
S扇形ODA＝
∴S阴影＝S扇形ODA－ S△ODF ＝2π－
.
Good bye!
解：(1)证明：∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴AE⊥BC. ∵AB＝AC， ∴BE＝CE. ∵AE＝EF， ∴四边形ABFC是平行四边形． ∵AC＝AB， ∴四边形ABFC是菱形．
(2)设CD＝x.连接BD，如图．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴AB2－AD2＝CB2－CD2，
9．[2018·荆门]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经 过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于 点D，AD交⊙O于点F，FM⊥AB于点H，分别交⊙O、AC于 点M，N，连接MB，BC. ((12))求若证cos：MA＝C4平，分B∠ED＝A1E，；①求⊙O的半径；②求FN的长.
∴EA＝
∴AD＝EA－DE＝
类型②与圆的位置关系有关的证明与计算
例2►[2018·黄冈]如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦， OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C. (1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
规范解答：(1)证明：如图，连接OB. ∵BC是⊙O的切线． ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，即∠OBD＋∠DBC＝90°. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBP＝90°，即∠CBP＋∠DBC＝90°， ∴∠OBD＝∠CBP. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ADB， ∴∠CBP＝∠ADB.…………………………………………(5分)
【满分必练】
1．[2018·烟台]如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC
的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的
度数为( )
C
A．56° B．62° C．68°
D．78°
第1题图
第2题图
第3题图
2．[2018·自贡] 如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且
∠A＝60°，连接OB，OC，则边BC的长为( D)
规范解答：(1)如图，作AM⊥BC于点M.
∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2，
∴BM＝CM＝ 1 BC＝1.
2
∵在Rt△AMB中，cos∠ABC＝
BM
＝
10 ，BM＝1，
AB
10
∴AB＝ 10 .…………………………………………………(5分)
(2)如图，连接DC.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC.
解答
2017
已知直角三角形和圆的组合图，判定圆的切 线，并求线段长
解答
2016
以三角形的外接圆为背景，判定圆的切线， 并结合等腰三角形性质证线段相等，结合相
似三角形性质求线段长
解答
2014 2013 2018
已知圆的直径、弦及角平分线等条件，结合 勾股定理求线段长，并判定圆的切线
已知圆的切线和平行四边形等条件，求线段 长并判定圆的切线
例3►[2018·河南]如图，在△ABC中，∠ACB ＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点 D逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B的运 动路径为 ，则图中阴影部分的面积为 _________.
满分技法►求与圆有关的阴影部分的面积时，常常是通过 把不规则图形的面积，用扇形的面积和三角形的面积的和 差来解决．特别地，对于旋转图形，要利用旋转的性质， 确定旋转的中心(扇形的圆心)和旋转半径(相应的线段)的 位置的变化，常常运用三角形全等进行面积的割补．
解：DE与⊙O相切．
理由：如图，连接OD.
∵OB＝OD. ∴∠ODB＝∠OBD. ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠EBD， ∴OD∥BE， ∴∠ODE＋∠E＝180°. ∵DE⊥BC，∴∠E＝90°， ∴∠ODE ＝90°， ∴DE⊥OD， ∴DE与⊙O相切．
(2)过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝ 3 3 ，DF＝3，求图中 阴影部分的面积．
A.R
B. 3 R
C. 2 R
D. 3 R
2
2
3．[2018·扬州]如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于
⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝_____．
4．[2018·宜昌]如图，在△ABC中，AB＝AC， 以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E， 延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC. (1)求证：四边形ABFC是菱形； (2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的 面积．
题型2 圆的证明与计算
考查类型 与圆的性质 有关的证明
与计算
与圆的切线 有关的证明
与计算
与扇形有关 的计算
年份
考查形式
题型
以圆内接四边形为背景，判断三角形的形状， 2015 结合全等三角形探究线段间关系，通过图形 解答
分割探究四边形最大面积
2018
已知圆的切线，根据圆的性质证明两线垂直， 并求出线段长度及弧长
∵∠A＝90°，∠A＋∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝90°.∴∠DCE＝180°－∠DCB ＝90°.∴∠E＋∠EDC＝90°. 又∵∠E＋∠B＝90°，∴∠B＝∠EDC. 在Rt△ECD中，cosB＝cos∠EDC ＝ ＝ . ∴DE＝ CD＝ ， 在Rt△ECD中，cosB＝ ＝ ， ∴BE＝ AB＝ .
2019/10/31
精选课件
5
解：(1)证明：连接OC，如图．
∵直线DE与⊙O相切于点C， ∴OC⊥DE. 又∵AD⊥DE， ∴OC∥AD.∴∠1＝∠3. ∵OA＝OC， ∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠2. ∴AC平分∠DAE.
(2)①∵AB为直径，∴∠AFB＝90°. ∵DE⊥AD，∴BF∥DE.∴OC⊥BF. ∴ ＝ ，∠COE＝∠FAB. ∵∠FAB＝∠M，∴∠COE＝∠M. 设⊙O的半径为r. 在Rt△OCE中，cos∠COE＝ ＝ ， 即 ＝ ，解得r＝4，即⊙O的半径为4.
已知扇形的圆心角，求出扇形的半径，进而 求扇形的面积
解答 解答 选择
分值 10分 12分 8分 10分 10分 8分 4分
类型①与圆的性质有关的证明与计算
例1► [2018·深圳]如图，在⊙O中，BC＝2，AB＝AC，点D为
上的动点，且cosB＝ . 10
10
(1)求AB的长度； (2)求AD·AE的值； (3)过点A作AH⊥BD于H， 求证：BH＝CD＋DH.
【满分必练】
6．[2018·重庆]如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长
线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长
线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为( A )
A．4
B．2 3 C．3
D．2.5
第6题图
第7题图
7．[2018·宜宾]在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有AB2
第12题图
第13题图
13．[2018·贵港]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ 4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位 置，此时点A′ 恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的 面积为____.(4结π 果保留π)