y = 99.613 + 0.082 x2 (15.4) (7.6) R2 = 0.83, F = 57.6, T = 14, (1974-1987)
y = 74.648 + 4.893 x3 (9.0) (8.7) R2 = 0.86, F = 75.4, T = 14, (1974-1987)
y = 108.865 + 5.740 x4 (18.3) (6.8) R2 = 0.80, F = 46.8, T = 14, (1974-1987)
7.3 多重共线性的后果
（1）当 rxi xj =1，X 为降秩矩阵，则(X 'X) -1 不存在， ˆ = (X 'X)-1X'Y 不可计算。
（2）若 rxi xj 1，即使 rxi xj 1， ˆ 仍具有无偏性。
E( ˆ )=E[(X 'X)-1X 'Y]=E[(X 'X)-1X '(X+u)]= + (X 'X)-1X ' E(u) =.
7.6 案例分析（3例）
例7.1：天津市粮食需求模型（1974-1987）
y：粮食销售量（万吨 / 年），x1：市常住人口数（万人）， x2：人均收入（元 / 年），x3：肉销售量（万吨 / 年）， x4：蛋销售量（万吨 / 年），x5：鱼虾销售量（万吨 / 年）。
180 170 Y
160
150
140
4
一次模拟结果，x1 与 x2 高度相关，x1 与 x3 不相关
因为 r(x1, x2) > 0.96， ˆ1 分布的方差变大（红线）。因为 r(x1, x3) = 0， ˆ1 分布的方差很小（蓝线）。
7.4 多重共线性的检验
（1）初步观察。当模型的拟合优度（R 2）很高，F 值很高，而每个回
归参数估计值的方差 Var(j) 又非常大（即 t 值很低）时，说明
（3）当 rxi xj 1 时，X 'X 接近降秩矩阵，即 X 'X 0， Var( ˆ )= 2 (X 'X)-1 变得很大。所以 ˆ 丧失有效性。 80 Var( ˆ )
以二元线性回归模型, Yt = 0 +1Xt1 + 2Xt2 + ut,为例，60
40
Var ( 1- ( x1x2 ) 2
因此我们关心的不是有无多重共线性，而是多重共线性的程度。 随着共线性程度的加强，对参数估计值的准确性、稳定性带来影响。
7.2 多重共线性的经济解释
（1）经济变量在时间上有共同变化的趋势。如在经济上升时期，收入、消费、就业率 等都增长，当经济收缩期，收入、消费、就业率等又都下降。当这些变量同时进入模型 后就会带来多重共线性问题。
第7章 多重共线性
7.1 非多重共线性假定 7.2 多重共线性的经济解释 7.3 多重共线性的后果 7.4 多重共线性的检验 7.5 多重共线性的克服方法 7.6 案例分析（3 例）
7.1 非多重共线性假定
rk (X 'X ) = rk (X ) = k+1
Y(T1) = X[T (k+1)] [(k+1)1] + u(T1)
5.4 利用解释变量之间的关系
如果解释变量之间存在多重共线性，那么可以利用它们之间的关系，引入附加方程， 从而将单方程模型转化为联立方程模型，克服多重共线性。
5.5 变换模型形式 通过变换模型形式克服多重共线性。例如某产品销量Y取决于其出厂价格X1，市场 价格X2，和市场供应量X3。模型为
LnY = 0 +1X1+ 2X2+ 3X3+ut 通常，X1与X2是高度相关的，如果研究的目的是预测销售量Y，则可以用相对价格 X1/ X2代替X1与X2对销售量Y的影响，
5.2 利用已知信息合并解释变量
通过经济理论及对实际问题的深刻理解，对发生多重共线性的解释变量引入附加条 件从而减弱或消除多重共线性。
比如有二元回归模型 yt = 0+ 1 xt1 + 2 xt2 + ut x1与x2间存在多重共线性。如果能给出1与2的某种关系，2 = 1其中 为常数。
yt = 0+ 1 xt1 + 1 xt2 + ut = 0 + 1 (xt1 + xt2) + ut 令 xt = xt1 + xt2 得yt = 0+ 1 xt + ut
模拟模型：Y = 0.4+1.2 x1+ 0.8 x2 + u，r(x1, x2) > 0.96。红色曲线为模拟1万次结果。
模拟模型：Y = 0.4+1.2 x1+ 0.8 x3 + u，r(x1, x3) = 0。蓝色曲线为模拟1万次结果。
5
B1F1
B1F2
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
真值1 = 1.2
LnYt = LnKt + LnLt + (1- ) LnCt + ut
整理后，Ln ( Yt Ct
)
=
Ln
Kt
+
Ln
(
Lt Ct
) + ut
变成了一元线性回归模型，自然消除了多重共线性。
7.5 多重共线性的克服方法
5.3 增加样本容量或重新抽取样本
这种方法主要适用于那些由测量误差而引起的多重共线性。当重新抽取样本时，克 服了测量误差，自然也消除了多重共线性。有时，增加样本容量也可以减弱多重共 线性的程度。
①若新变量的引入改进了R2，且回归参数的t检验在统计上也是显著的， 则该变量在模型中予以保留。
②若新变量的引入未能改进R2，且对其他回归参数估计值的t检验也未带 来什么影响，则认为该变量是多余的，应该舍弃。
③若新变量的引入未能改进R2，且显著地影响了其他回归参数估计值的 符号与数值，同时本身的回归参数也通不过t检验，这说明出现了严重的 多重共线性。舍弃该变量。
LnY = 0 +1(X1/X2) + 3X3+ut 从而克服了X1与X2的多重共线性。
7.5 多重共线性的克服方法
5.6 把数据中心化 把数据中心化有时也是克服多重共线性的有效方法。 例如多项式回归模型
yt = 0 +1 xt + 2 xt2 + 3 xt3 + ut
中，变量之间常存在多重共线性。 可以把解释变量先中心化（各自减自己的均值）， 然后建立多元回归模型
（2）解释变量与其滞后变量同作解释变量。
4.E+11 3.E+11
GDP
4.E+11
GDP
3.E+11
2.E+11
2.E+11
1.E+11
0.E+00 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
1.E+11
0.E+00 0.E+00
1.E+11
2.E+11
GDP(-1) 3.E+11 4.E+11
y = -3.497 + 0.125 x1 + 0.074 x2 + 2.678 x3 + 3.453 x4 – 4.491 x5
(-0.1) (2.1)
(1.9)
(2.1)
(1.4)
(-2.0)
R2 = 0.97, F = 52.59, DW = 1.97, t0.05(8) = 2.31, T = 14, (1974-1987)
解释变量不是完全线性相关的或接近完全线性相关的。
xtixtj 1, xtixtj 不近似等于 1。
就模型中解释变量的关系而言，有三种可能。 （1） xtixtj = 0，解释变量间相关系数等于 0。（少见）
（2） xtixtj = 1，解释变量间完全相关。（少见）
（3）0 < xtixtj < 1，解释变量间存在一定程度的线性相关。（常见）
4.E+11 3.E+11
GDP
CONS
4.E+11
GDP of HongKong
3.E+11
2.E+11
2.E+11
1.E+11
1.E+11
0.E+00 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
0.E+00
CONS
0.0E+ 00 5.0E+ 10 1.0E+ 11 1.5E+ 11 2.0E+ 11 2.5E+ 11
R2 = 0.97，而每个回归参数的 t 检验在统计上都不显著，这说明模型中存 在严重的多重共线性。
7.6 案例分析（3例）
把解释变量换成对数形式建模还是存在多重共线性。
y = -134.248 + 0.013x1 + 33.611Lnx2 + 34.363Lnx3 + 27.280Lnx4 – 34.906Lnx5
解释变量间可能存在多重共线性。
（2）Klein 判别法。计算多重可决系数 R2 及解释变量间的简单相关系 数 rxi xj。若有某个 rxi xj > R2，则 xi，xj 间的多重共线性是有害的。
（3）回归参数估计值的符号不符合经济理论。 （4）增加或减少解释变量个数时，回归参数估计值变化很大。
90 68
X3 10 12 14 16 18 20 22 24
180 170 Y
160
150
140
130