三、解答题
21．计算
a2 a 1 a2 3a 1
(1)
;
a 1
a3
(2)已知 a、b 是实数，且 2a 6 + b 2 ＝0.求 a、b 的值
(3)已知 abc＝1，求 a b c 的值 ab a 1 bc b 1 ac c 1
【答案】（1）
a
2a 2 2 2a
3
；（2）a=－3，b=
【答案】见解析.
【分析】
（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果；
（2）原式各项分母有理化，计算即可.
【详解】
解:(1)①
;
②
; (2)原式
故答案为:(1)①
;②
【点睛】 此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选 择合适的方法解题.
25．像( 5 +2)( 5 ﹣2)＝1、 a • a ＝a(a≥0)、( b +1)( b ﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个
【解析】 试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．
试题解析：剩余部分的面积为：（2 3 +3 5 ）2﹣（2 3 + 10 ）（ 6 ﹣ 5 ） =（12+12 15 +45）﹣（6 2 ﹣2 15 +2 15 ﹣5 2 ） =（57+12 15 ﹣ 2 ）（cm2）．
考点：二次根式的应用
一、选择题 1．若 5 a, 17 b ，则 0.85 的值用 a 、 b 可以表示为
（）
A． a b 10
B． b a 10
C． ab 10
D． b a
2．计算 27 8 3 的结果是（ ） 2
A． 3
B． 3
C． 2 3
3．若 x 3 有意义，则 x 的取值范围是 （ ）
A． x 3
3 1 3 1 3 1
3 1
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)请用不同的方法化简 2 ： 5+ 3
2
①参照(二)式化简
＝__________.
5+ 3
②参照( 三)式化简 2 ＝_____________ 5+ 3
(2)化简： 1 + 1 + 1 + + 1 .
3 1 5+ 3 7+ 5
99+ 97
a ab 1
=
ab a 1
=1. 【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一
味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
22．先化简，再求值： 1
x
4
3
x2 2x 1 2x 6
，其中
x
2 1.
【答案】 2 .
【分析】
28．化简求值：
x2
x
1 2x 1
(1
x
2) 1
，其中
x
3 1．
【答案】 3 3
【解析】
分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代
入运算即可.
详解：原式
x2
x
1 2x
1
x 1 x 1
x
2 1
,
x2ห้องสมุดไป่ตู้
x 1 2x 1
x
12 , x 1
x 1 x 1
x
12
a b
ab a b a b
a b a2 a ab b ab b2 a2 b2
＝
÷
a b
ab a b a b
＝
a b ab
·
a b
a b a
ab a b
b
＝－
a
b．
27．在一个边长为（2 3 +3 5 ）cm 的正方形的内部挖去一个长为（2 3 + 10 ）cm， 宽为（ 6 ﹣ 5 ）cm 的矩形，求剩余部分图形的面积． 【答案】57+12 15 ﹣ 2
ab
ab ，
bc b 1 abc ab a ab a 1
ac
c c
1
a2bc
abc abc
ab
ab
1 a
1
，然后再进行分式的加减计算即可.
【详解】
解：（1）原式= a a 1 1 a a 3 1
a 1
a3
=
a
a
1 1
a
a
1
3
= 1 1 a 1 a 3
a 3 a 1 = a 1a 3
=
2a 2 a2 2a
3
；
（2）∵ 2a 6 b 2 0 ，
∴2a+6=0，b－ 2 =0，
∴a=－3，b= 2 ；
（3）∵abc＝1，
∴
bc
b b
1
abc
ab ab
a
ab
ab a
，
1
ac
c c
1
a2bc
abc abc
ab
ab
1 a
1
，
∴原式= a ab 1 ab a 1 ab a 1 ab a 1
化后计算即可；
（3）确定 2018 2017 与 2017 2016 的有理化因式为 2018 2017 与
1
1
2017 2016 ，得到
与
，然后比较即可.
2018 2017 2017 2016
详解：(1) 原式= 2 3 = 2 3 ； 3 3 3 9
（2）原式= 2 3 3 2 = 2 2 2 3 ；
（3）根据题意，
2018 2017
1
， 2017 2016
1
，
2018 2017
2017 2016
∵ 2018 2017 2017 2016 ，
∴
1
1
，
2018 2017 2017 2016
即 2018 2017 2017 2016 .
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后
(2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解
答本题.
【详解】
解：（1）由例子可得，
④为：
1 -
1
=
5 25
4 = 2 ，⑤ 55
1 -
1
=
5，
6 36 6
（2）如果 n 为正整数，用含 n 的式子表示这个运算规律： （3）证明：∵n 是正整数，
B． x 3
C． x 3
D． 5 3 D． x 是非负数
4．若 0 x 1，则
x
1 x
2
4
x
1 x
2
4
(
).
A． 2 x
B． 2 x
C． 2x
D． 2x
5．计算 27 1 18 48 的结果是（ ） 3
A．1
B．﹣1
C． 3 2
D． 2 3
6．给出下列结论：① 10 1在 3 和 4 之间；② x 1 中 x 的取值范围是 x 1；
2 ；（3）1.
【分析】
（1）先将式子进行变形得到 a a 1 1 a a 3 1 ，此时可以将其化简为
a 1
a3
a
a
1 1
a
a
1
3
，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；
（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到 2a+6=0，b－ 2 =0，从而可求出 a、b；
（3）根据 abc＝1 先将所求代数式转化： b
根据特点变形解题是关键.
26．计算（
a ＋ b ab ）÷（ a b
a
＋
ab b
b
ab
－
）（a≠b）．
ab a ab
【答案】－ a b
【解析】
试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．
试题解析：解：原式＝
a
ab b
ab
a
÷
a
a b b b
a b a ba b
A．3
B．4
C．5
D．6
9．关于 12 的下列说法中错误的是（ ）
A． 12 是12 的算术平方根
B． 3 12 4
C． 12 不能化简
D． 12 是无理数
10．如果实数 x ， y 满足 x2 y3 xy y ，那么点 x, y 在（ ）
A．第一象限 轴上
B．第二象限
C．第一象限或坐标轴上 D．第二象限或坐标
24 2
39 3
4 16 4
④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果 n 为正整数，用含 n 的式子表示这个运算规律；
（3）证明这个猜想．
【答案】（1）
1 1 4=2， 5 25 5 5
1 1 5 ；（2） 6 36 6
1 n
1 n2
n 1 ；（3） n
证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的例子直接写出结果；
后变为 1 的所有正整数中，最大的是________．
13．实数 a、b 满足 a2 -4a 4 36-12a a2 10- b 4 - b-2 ，则 a2 b2 的最大值为
_________．
14．计算：( 6 ＋ 5 )2015·( 6 － 5 )2016＝________．
15．已知 m=1+ 2 ，n=1﹣ 2 ，则代数式 m2 n2 mn 的值________．