2015、2016高考试题概率、统计专题1.（2015北京卷16）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅱ) 如果25(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）2.（2015福建卷16）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.3.（2015湖北卷20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．4.（2015湖南卷18）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.5.（2015陕西卷19）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（I）求T的分布列与数学期望(II) 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．6.（2015四川卷17）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（I）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（II）某场比赛前。

从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.7.（2015天津卷16）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (I) 设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II) 设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.8.（2016北京卷16） A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：（I ） 试估计C 班的学生人数；（II ） 从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III ）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）9、（2016山东卷19）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.10.（2016天津卷16））某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.2015、2016高考试题概率、统计专题参考答案1.（2015北京卷）解：设时间1A 为“甲是A 组的第i 个人”，时间1B 为“乙是B 组的第i 个人”，i=1,2， (7)由题意可知111()()7P A P B ==, i=1,2，…，7. （Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是：5675673()()()()7P A A A P A P A P A =++=（Ⅱ）设时间C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，C=41516171526272736676A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B .因此4151617152()()()()()()P C P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272736676()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++=1041()P A B =1041()()P A P B =1049（Ⅲ）a =11或a =182.（2015福建卷）解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P （A ）=56´45´34=12p （2）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又61)1(==X P ，615165)2(=⨯==X P ，325465)3(=⨯==X P 所以X 的分布列为：所以.2336261)(=⨯+⨯+⨯=X E3.（2015湖北卷） 解：（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=． 当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．第3题解答图1 第3题解答图2 第3题解答图33311(1)10.30.973.p p =--=-=当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为4.（2015湖南卷）解：（Ⅰ）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝. 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，C=1B +2B . 因P （1A ）=410=25，P(2A )=510=12，所以P （1B ）=P(12A A )=P(1A )P(2A )=25⨯12=15， P （2B ）=P （12A A +12A A ）=P （12A A ）+P （12A A ）=P （1A ）(1- P(2A ))+(1- P （1A ）)P(2A )=25⨯(1-12)+(1-25)⨯12=12，故所求概率为P(C)= P(1B +2B )=P （1B ）+ P （2B ）=15+12=710.（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X~B （3，15）.于是： P(X=0)=003314()()55C =64125，P(X=1)=112314()()55C =48125，P(X=2)=221314()()55C =12125，P(X=3)=330314()()55C =1125故X 的分布列为X 的数学期望为 E （X ）=3⨯5=5.5.（2015陕西卷）解：（I以频率估计概率得T 从而 250.23ET =⨯+（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”. 解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +==0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.6.（2015四川卷）解：（I ）由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为=P 333433661100C C C C = 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （II ）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===， 2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===， 所以X因此，X 的期望为()()()1(1)2233E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=2513532511=⨯+⨯+⨯= 7.（2015天津卷）解：（I ）由已知，有：22222333486()35C C C C P A C +==，所以，事件A 发生的概率为635. （II ）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.45348()(1,2,3,4).k kC C P X k k C -=== 所以，随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 8.（2016北京卷）解：（I ）由题意，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名，根据分层抽样的方法， C 班的学生人数估计为：40208100=⨯（II ） 设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，5,,2,1 =i ，事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，8,,2,1 =j ， 由题意可知，5,2,1,51)( ==i A P i ，8,2,1,81)( ==j C P j8,2,1,5,2,1,4018151)( ===⨯=j i C A P j i设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，有3323133222122111()(C A C A C A C A C A C A C A C A P E P =45352515342414C A C A C A C A C A C A C A所)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （III ）01μμ<9、（2016山东卷）解：记事件A ：“甲第一轮猜对”， 事件B ：“乙第二轮猜对”， 事件C ：“甲第二轮猜对”， 事件D ：“乙第二轮猜对”， 事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”，由事件的独立性与互斥性，有32)3243314332433241(232433243))()()(())()()(())()()(())()()(())()()(()()()()()()(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=++++=++++=D C B A P D C B A P D C B A P D C B A P D C B A P D ABC P D C AB P CD B A P BCD A P ABCD P E P 所以，“星队至少猜对3个成语”的概率为32.(Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得()1111104343144P X ==⨯⨯⨯= ,()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==⎪⎝⎭, ()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,()3231321260542=4343434314412P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ , ()32321643434P X ==⨯⨯⨯=. 可得随机变量X 的分布列为：所以数学期望01234614472144121246EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 10.（2016天津卷） 解：（Ⅰ）由已知，有31)(210231413=+=C C C C A P （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()222334210C C C 0C P X ++==415=， ()11113334210C C C C 71C 15P X+===， ()1134210C C 42C 15P X ===.所以，随机变量X 随机变量X 的数学期望()4740121151515E X =⨯+⨯+⨯=.。