2017年湖北省襄阳市优质高中高考数学模拟试卷（理科）（1月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】化简集合、，根据补集与交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合，，则，∴．故选：．2. 已知是关于的方程的一个根，则A. B. C. D.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，利用根与系数的关系、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，∴，，解得，．则．故选：．3. 设向量，且与的方向相反，则实数的值为（）A. B.C.或D.的值不存在【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】根据题意，由向量平行的坐标表示可得，解可得的值，将的值代入、的坐标，验证与是否反向，即可得答案．【解答】解：向量，若，则有，解可得或；当时，，与的方向相同，舍去；当时，，与的方向相反，符合题意；故选：．4. 下列说法错误的是（）A.若，，则￢，B.“ ”是“或”的充分不必要条件C.命题“若，则”的否命题是“若，则”D.已知，，，，则“￢”为假命题【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】由由特称命题的否定为全称命题，可判断；由，可得或，，结合充分必要条件的定义，即可判断；由命题的否命题形式既对条件否定，又对结论否定，即可判断；由，判断真；由配方结合二次函数的性质，判断真，￢假，再由复合命题的真值表即可判断．【解答】解：对于，若，，则￢，，由特称命题的否定为全称命题，故正确；对于，，可得或，，则“或”可得“ ”，反之不成立，则为必要不充分条件，故不正确；对于，命题“若，则”的否命题是“若，则”，由命题的否命题形式既对条件否定，又对结论否定，故正确；对于，，，比如，，真；，，由于恒成立，真，￢假，则“￢”为假命题，故正确．故选：．5. 在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】由双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线与直线垂直，可得，由此可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线与直线垂直，∴，∴，∴，∴，故选．6. 已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的前项和公式能求出公差的值；设等比数列的公比为，由等比数列的前项和公式能求出公比的值．由此能够求出的值．【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有，解得，，∴．故选：．7. 按如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】程序框图【解析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行的是的值，由此得出判断框中应填入的是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得该程序运行后是计算，满足条件时，终止循环；∴判断框中应填入的是．故选：．8. 已知某几何体的三视图如图所示（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个半圆柱，下面是一个长方体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个半圆柱，下面是一个长方体．这个几何体的表面积是．故选：．9. 已知函数，则函数的大至图象是（）A.B.C.D.【答案】A【考点】函数的图象与图象变化【解析】先求出其定义域，得到，根据函数的奇偶性排除、两项，再证明当时，函数图象恒在轴上方，排除选项，从而可得正确的选项是．【解答】解：由题意可得，函数的定义域，并且可得函数为非奇非偶函数，满足，可排除、两个选项．∵当时，在时，有最大值为∴函数，当时满足，因此，当时，函数图象恒在轴上方，排除选项故选10. 已知，在矩形中，，，点为矩形内一点，则使得的概率为A. B. C. D.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】，将矩形放在坐标系中，设利用向量的数量积公式，作出对应的区域，求出对应的面积即可得到结论．【解答】解：，将矩形放在坐标系中，设，，，则，即，如图作出不等式对应的区域，为四边形，当时，，即，则的面积，四边形的面积,则的概率，故选．11. 已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，由偶函数的性质可得，进而利用三角函数的和差公式化简可得，分析可得，，由三角函数诱导公式分析可得，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，设，则，则有，，又由函数是偶函数，则有，变形可得：，即，必有：，，分析可得：，分析选项只有满足，故选：．12. 抛物线＝的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】抛物线的求解【解析】设＝、＝，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得＝．再由余弦定理得＝，结合基本不等式求得的范围，从而可得的最大值．【解答】设＝，＝，、在准线上的射影点分别为、，连接、由抛物线定义，得＝且＝，在梯形中根据中位线定理，得＝＝．由余弦定理得＝，配方得＝，又∵，∴得到．所以，即的最大值为．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示．若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报专业的人数为________．【答案】【考点】频率分布直方图【解析】根据频率分布直方图，求出视力在以上的频率，即可得出该班学生中能报专业的人数．【解答】解：根据频率分布直方图，得：视力在以上的频率为，∴该班学生中能报专业的人数为；故答案为：．已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为，则函数在上的单调递减区间为________．【答案】【考点】正弦函数的图象【解析】利用函数图象的性质求出的解析式，根据正弦函数的单调性得出的单调减区间．【解答】解：∵的图象过点，∴，∵，∴．∵的图象相邻两条对称轴的距离为，∴，∴．∴，令，解得，．∴函数在上的单调递减区间为．故答案为：．将三项式展开，当，，，，…时，得到以下等式：…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第行为，以下各行每个数是它头上与左右两肩上数（不足数的，缺少的数计为）之和，第行共有个数．若在的展开式中，项的系数为，则实数的值为________．【答案】【考点】归纳推理【解析】由题意可得广义杨辉三角形第行为，，，，，，，，，，，所以的展开式中，项的系数为，即可求出实数的值．【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第行为，，，，，，，，，，，所以的展开式中，项的系数为，所以．故答案为：．若，对任意的，都有，且设表示整数的个位数字，则________．【答案】【考点】数列递推式数列的概念及简单表示法【解析】通过计算出前几项的值猜想并用数学归纳法证明，进而通过计算出数列前几项的值可知从第项起数列是以为周期的周期数列，进而可得结论．【解答】解：依题意，，即，解得：或（舍），，即，解得：或（舍），，即，解得：或（舍），，即，解得：或（舍），猜想：．下面用数学归纳法来证明：①当时，显然成立；②假设当时，有，∵，∴，解得：，或（舍），即当时命题成立；由①、②可知．∴，，，，，，∴从第项起数列是以为周期的周期数列，∵，∴，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.在中，角，，的对边分别为，，（1）若，，成等比数列，，求的值；（2）若，，成等差数列，且，设，的周长为，求的最大值．【答案】解：（1）∵，，∴，∵，，成等比数列，∴．…由正弦定理得，，∴…（2）∵角，，成等差数列，，∴，又，由正弦定理得，∵，∴∴…∴周长…∵，∴当即时，，所以周长的最大值为．…【考点】正弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）由题意和平方关系求出，由等比中项的性质和正弦定理化简后，由两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，将数据代入求值即可；（2）由等差中项的性质和内角和定理求出，由条件和正弦定理求出、，表示出周长为后，由两角和与差的正弦公式化简，由正弦函数的性质和的范围求出周长的最大值．【解答】解：（1）∵，，∴，∵，，成等比数列，∴．…由正弦定理得，，∴…（2）∵角，，成等差数列，，∴，又，由正弦定理得，∵，∴∴…∴周长…∵，∴当即时，，所以周长的最大值为．…近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，年双期间，某网络购物平台推销了，，三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了，，三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对，，三件商品抢购成功的概率分别为，，，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为．（1）求，的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的，，三件商品进行优惠减免，商品抢购成功减免百元，商品抢购成功减免比百元，商品抢购成功减免百元．求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望．【答案】由题意，得，因为，解得．由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量（单位：百元），则的值可以为，，，，，，．而；；；；；；．所以的分布列为：于是有【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】Ⅰ由题意利用相互独立及其对立事件的概率计算公式可得．Ⅱ由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量（单位：百元），则的值可以为，，，，，，．再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】由题意，得，因为，解得．由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量（单位：百元），则的值可以为，，，，，，．而；；；；；；．所以的分布列为：于是有如图，在四棱锥中，，，．为棱的中点，异面直线与所成的角为．（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；（2）若二面角的大小为，求二面角的余弦值．【答案】解：（1）延长交直线于点，∵点为的中点，∴，∵，∴，∵，即．∴四边形为平行四边形，即．∵，∴，∴，∵平面，∴平面，…∵，平面，∴平面，故在平面内可以找到一点，使得直线平面…（2）如图所示，∵，异面直线与所成的角为，即又，∴平面．又即∴平面∴．因此是二面角的平面角，其大小为．∴．…建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则．∴，，，∴，，，易知平面的法向量为设平面的法向量为，则，可得：．令，则，，∴．…设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．…【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行的判定【解析】（1）延长交直线于点，证明，即可使得直线平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则．求出平面的法向量，即可求二面角的余弦值．【解答】解：（1）延长交直线于点，∵点为的中点，∴，∵，∴，∵，即．∴四边形为平行四边形，即．∵，∴，∴，∵平面，∴平面，…∵，平面，∴平面，故在平面内可以找到一点，使得直线平面…（2）如图所示，∵，异面直线与所成的角为，即又，∴平面．又即∴平面∴．因此是二面角的平面角，其大小为．∴．…建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则．∴，，，∴，，，易知平面的法向量为设平面的法向量为，则，可得：．令，则，，∴．…设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．…已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆＝上．（1）求椭圆的方程；（2）直线＝交椭圆于，两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】∵椭圆的左顶点在圆＝上，∴又∵椭圆的一个焦点为，∴＝∴＝＝∴椭圆的方程为设，，则直线与椭圆方程联立化简并整理得＝，∴，由题设知∴直线的方程为令＝得，∴点（当且仅当即时等号成立），∴的面积存在最大值，最大值为．【考点】椭圆的离心率椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由椭圆的左顶点在圆＝上，求得，由椭圆的一个焦点得＝，由＝得，即可．（2）由题意，，可得直线的方程，令＝，可得点的坐标为．利用的面积为，化简了基本不等式的性质即可得出．【解答】∵椭圆的左顶点在圆＝上，∴又∵椭圆的一个焦点为，∴＝∴＝＝∴椭圆的方程为设，，则直线与椭圆方程联立化简并整理得＝，∴，由题设知∴直线的方程为令＝得，∴点（当且仅当即时等号成立），∴的面积存在最大值，最大值为．已知函数．（1）试判断的单调性；（2）若在区间上有极值，求实数的取值范围；（3）当时，若有唯一的零点，试求的值．（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如，，；以下数据供参考：，，，）【答案】解：（1），①当时，，∴函数在区间上单调递减；②当时，由，解得，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．…（2），其定义域为．，…令，，，当时，恒成立，∴在上为增函数，又，，∴函数在内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，此时在区间内有极值．…当时，，即时，恒成立，∴函数在单调递减，此时函数无极值…综上可得：在区间内有极值时实数的取值范围是；…（3）∵时，函数的定义域为由（2）可知：知时，，∴．又在区间上只有一个极小值点记为，且时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，由题意可知：即为．…∴，∴消去可得：，即令，则在区间上单调递增又∵由零点存在性定理知，∴∴．…【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出的导数，讨论当时，当时，由导数大于，可得增区间；导数小于，可得减区间，注意定义域；（2）求出的导数，令，，求出导数，讨论的符号，判断单调性，即可得到所求的范围；（3）由（2）可知：知时，，则，讨论在的单调性，再由零点的定义和极值点的定义，可得的方程，构造函数，判断单调性，由零点存在性定理知，，即可得到所求值．【解答】解：（1），①当时，，∴函数在区间上单调递减；②当时，由，解得，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．…（2），其定义域为．，…令，，，当时，恒成立，∴在上为增函数，又，，∴函数在内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，此时在区间内有极值．…当时，，即时，恒成立，∴函数在单调递减，此时函数无极值…综上可得：在区间内有极值时实数的取值范围是；…（3）∵时，函数的定义域为由（2）可知：知时，，∴．又在区间上只有一个极小值点记为，且时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，由题意可知：即为．…∴，∴消去可得：，即令，则在区间上单调递增又∵由零点存在性定理知，∴∴．…请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）设直线与曲线交于，两点，若点的直角坐标为，试求当时，的值．【答案】曲线，可以化为，＝，因此，曲线的直角坐标方程为＝它表示以为圆心、为半径的圆．当时，直线的参数方程为（为参数）点在直线上，且在圆内，把代入＝中得设两个实数根为，，则，两点所对应的参数为，，则，＝∴【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）曲线，可以化为，＝，可得曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）当时，直线的参数方程为（为参数），利用参数的几何意义求当时，的值．【解答】曲线，可以化为，＝，因此，曲线的直角坐标方程为＝它表示以为圆心、为半径的圆．当时，直线的参数方程为（为参数）点在直线上，且在圆内，把代入＝中得设两个实数根为，，则，两点所对应的参数为，，则，＝∴[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）已知函数＝．（1）若，恒有成立，求实数的取值范围；（2）若，使得＝成立，试求实数的取值范围．【答案】＝．∵，恒有成立，∴；由题意，，，使得＝成立，∴＝，∴，时，＝，∴，不合题意，舍去；时，＝，此时恒成立；时，＝，∴，不合题意，舍去；综上所述，的取值范围为．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）若，恒有成立，求出的最小值，即可求实数的取值范围；，使得＝成立，，再分类讨论，即可求实数的取值范围．【解答】＝．∵，恒有成立，∴；由题意，，，使得＝成立，∴＝，∴，时，＝，∴，不合题意，舍去；时，＝，此时恒成立；时，＝，∴，不合题意，舍去；综上所述，的取值范围为．试卷第21页，总21页。