刘延革《长方体和正方体的练习课》课堂实录整理：钱梦宇万彩红陆卫燕一、课前谈话：师：其实刚才抽奖的过程用到了数学中什么知识？你看呀,知识和我们生活中的应用分家了,对,生：可能性师：大点声说，对,可能性,或是概率，对不对？我们所学的数学知识在我们生活中的应用是不是挺广泛的？今天我们将要学习什么内容？生：长方体和正方体师：对了,有的同学看了这个题目，会有个疑问，我们上个月刚刚学过这个内容，没关系,今天我们就来上一节练习课，已学过,那正好,我们这节课来温过知新一下•老师有个疑问,在我们上个月学习的长方体和正方体的内容，我们都学习了他们什么学习内容？生：我知道了长方体和正方体都有6个面,12条棱和8个顶点师：恩，那也就是概括地说，我们认识了长方体和正方体的特征.还学了什么？生：我们还学了怎样计算表面积和体积.师：学了计算它的表面积和体积，对吧,求积的内容，还学了？生：我们还学了表示体积的体积单位师：还学了新的计量单位，体积单位和单位间的换算，对不对？我们今天就在学了这些的基础上来上一节练习课，好吗？二、练习 ___师：请看大屏幕（出示正方体「|棱长为6，单位：分米）认识这个几何形体吗？生：正方体师：如果我们知道他的棱长之和是72分米这个信息，你觉得我们可以求出它的什么？生1:我们可以求出它的棱长是多少。

师：还能求出什么？生2:求出它的表面积和体积生3:求出它的底面积师：你们觉得要求出这几个问题，必须要知道哪个问题？生：棱长师：那怎么求出它的棱长？生：用棱长总和除以一共有12条棱师：列式是？生：72除以12师：都同意吗？那一起帮他口算一下72除以12,单位分米生：等于6分米师：单位分米我用dm表示，那我来问你们为什么除以12？生：因为正方体有12条棱，72里有12条程度相等的棱组成的，把它平均分成12 份，就求出一条棱。

师：恩。

这句话其实突出了2个重要的要素，一个是正方体有12条棱，他后面又补充上来一个？生：12 条棱程度是相等的师：这条重要不重要？对，这12 条棱长底是相等的，所以我们才能直接除以12. 对吧，那么现在我们知道了它的棱长是6 分米，那接下来就可以求一求它的表面积和体积。

那表面积是不是也包含刚才那位同学说的底面积？好，那谁来说说怎么求它的表面积？生：知道了它的棱长，就可以求出它的一个面的面积，而正方体是由6 个相等的面组成的师：列式？表面积生继续：6 的平方乘以6师：也就是？生继续：6 乘6 乘以6教师相机板书6X 6X 6 问：对吗？同意吗？这个列式？然后结果？生：216师：真棒口算，好，216 平方分米（相机板书）那接下来谁会求体积？给那高高举手的男生生：用6 的立方等于216 立方分米师：6 的立方是什么意思呀？生：就是6 的3 次方师：哦。

也是6X 6X 6（板书）是这个意思吗？然后是216？（板书216）生：立方分米师相机板书立方分米。

师：谢谢。

请坐。

那我问问通过我们黑板上2 个算式是不是我们可以说正方体的表面积和体积的计算的方法是一样的？首先生齐说：不一样师：你看看我们展开之后的算式是一样的呀，也就说它的表面积和体积的计算方法是一样的，同意吗？（生底下齐说不同意）师接着问：怎么不同意呀？生：我认为是不对的，首先6的3次方和6 X 6 X 6是不一样的，算理就不同，6X 6 X 6 算表面积的话是先求出一个面再求出6 个面，而6 的立方意思是直接求出一个面然后再把它的竖过来那个面乘上，高再乘上，就是它的体积师问：听明白他的意思了吗？那么我们归纳归纳，他的言外之意是这些6 的含义不一样，是吗？那么我们先来看第二个算式6X6X6 求体积的3个6 它的含义一样吗？生齐说不一样。

师：一样不一样？（一样）那它在长方体里可能不一样，长宽高，但是由于这个正方体里长宽高都一样，所以它都是表示的是棱长的长度，所以这3个6 表示的意义是一样的，是棱长的意思。

对吗？所以呢刚才第一位站起来的同学他说的是6 的3 次方或6的立方表明这3个6的意义是一样的，而上面这个算式中3个6的意义一样吗？（学生底下齐说不一样）师指着板书算式中第一个6问：这个6是？（生底下齐说棱长）再指着第2个6 问：这个6是？（生齐说棱长）再指着第3个6问：那这个6是？（生齐说面）师：对，面的数量，6 个面的意思，对吧？所以它的含义和前面6 的含义不一样，所以刚开始我们站出来求表面积的同学说的是 6的平方乘6,其实他也突出了这3个6 的含义不一样，对吗？你看尽管老师把它展开了之后都是 6,我们也应该清晰的知道它每个6的意义，是不是？好，通过这题我们知道它们计算的方法是不一样，那我最起码 可以说这个正方体它的表面积和体积恰好相等，都是 216嘛，恰好相等，这巧了，同意 吗？生：我不同意，因为第一个算出来的是这 6个面，而第2个算出来是正方体的体积 的，而正方体的表面积和体积是不能相比较的师：你看她说得多清楚呀，对吗？ 一个是求的正方体的面的大小，一个求的是所占 空间的大小，尽管它们算得的数据恰好一样，但它们表示的意思依然是不一样的， 真好, 那通过一组小题看出，同学们对前期所学的知识挺扎实的。

真好，不错，那接着我们看 这个图形，如果，我们刚才都知道它的棱长是 6,它的表面积和体积也求出来了，还是高不断地长高，它会变成什么体？（生齐说长方体） 高变成10分米）这个长方体的长宽高分别师问：长是多少？（生齐说 6） —般我们习惯要先说长，宽是多少？（生齐说6） 那这个10表示的是？（学生齐说高）那么你们能求出它的表面积吗？在你们的练习纸 上试着算一算 学生独立在本子上算长方体的表面积师边巡视边说：如果有了一种方法的同学，看看你还能找到不同的方法吗？我看每个同学都已经有了一种答案了，有很多同学也已经有了2个答案了，我看一下，来说说你的想法生：（6X 6+10X 6+10X 6）x 2 师：得到什么？跟你们的答案一样吗？（一样）那我写上了？师相机板书。

问：等 于多少？（学生齐说：312平方分米）师相机板书。

问：好，我想问一下，这括号里求 的是什么呀？不光会算，还得会说，你明白吗？括号里求的是什么？那个女生生：是长乘宽，宽乘咼，长乘咼3个面不同的面积，然后再乘2就等于它总共的面 积师：那也就是括号里求的是括号里 3组相对的面的面积，咱们是把每一组中的一个， 然后再乘2就是几个面的面积？（学生齐说 6个面）6个面的面积，对不对？挺好的， 我看还有好多同学有不同的方法，对吗？你说生：我是这样计算的，先用6的平方乘2 师相机板书。

问：6的平方乘2也就是6X 6X 2?对吗？生继续说：对，再加上6X 10X 4 （师相机板书）我得到的答案也是 312平方分米 师：好，谢谢，有不少同学也列出这样的算式对吗？那我想问这个求的是哪一组面的面积？师指着6X 6X 2问生：我觉得这里求的是正方体底面的，底下一个和上面一个 师接着说：也就是上、下这组面的面积，对吗？好，那这个 6X 10X 4求的是？ 生：因为这是一个特殊的长方体，它的高乘长的几个面是相等的，所以只要求其中 一个面然后再乘以 4 就等于四周的面积 师：出就是求前后左右这四个面的面积？对吧？那我想问一个问题这个方法是抓住 了这个长方体的什么特点？（老师指着第一种方法问）生：相对面的面积相等这个正方体，如果我们把底面不变, 那我们来看一下（课件演示高变长 是多少？（生齐说10, 6, 6）师：恩，那第二个呢？生：第二个是抓住了这是一个特殊长方体，它的长和宽是相等的，所以就造成这个长方体侧面一周的四个面的面积是完全相等的，所以我们就可以用6X 10再X 4 师：嗯，它的长宽之这所以相等，是因为这个长方体有一组相对的面是？（学生齐说正方形）正方形，所以它是一个特殊的长方体。

好，还有什么不同的方法？老师写一个看看有道理吗？好吗？师板书：6X 6X 2+6X 4X 10. 问：有道理吗？（学生底下说：有）看出来这个算式和第二个算式有什么区别吗？师：对吗？好！还有不同的方法吗？生思考。

师：那这样，老师写一个，你看看，有道理好吗？（师板书：6X 6+6X4X10）师：6X 6X 2+6X 4X 10 有道理吗？生：有道理。

师：很多同学现在还在想，还在思考。

看出了这个算式和第二个算式的区别了吗？不是一个简单的运算律的问题，而是这个算式意义本身的有没有道理。

生：我觉得是有道理的，因为如果把这个侧面一周展开来的话，就像老师的方法，它的高是10，长是10，然后宽直接算出来师：我特别欣赏这位同学的第一句话，说得特别好。

虽然我给的是一个长方体，但它的表面积展开来去想，我们现在对应着算式去想每一步求的是什么，好吗？（师操作演示）我们也把它打开，谁上来指一指6X 4求的是哪儿。

（生演示）师：看到了吗？再指一遍6X4。

（生操作演示）再乘10是哪儿？（生操作演示）看到了吗？生：看到了。

师：看到了，谢谢！请回。

其实也就是把它侧面的四个小长方形转化成了一个大长方形，那么，6X 4 其实就是大长方形的长，原来的高的10 就是大长方形的宽，对吗？生：对。

师：那我们说这个方法有没有道理？生：有。

师：他用的转化法把侧面的四个图形转化成一个图形去想，同学们看就这一个问题找到了几种方法？生：三种师：三种方法。

也就说同一个问题你变换角度去思考的时候，你会找到不同的解决问题的办法。

对吧？生：对。

师：那接着来看，我们把它还原回去（师操作演示），仍旧是这个小长方体，如果让它继续不断地长高，它的长也不断的延长，它会成为什么体？你的意见？生：有可能成为长方体，有可能成为正方体。

师：这是他的意见，都是这样认为的？不断地长高，长不断地延长，有不同的意见吗？生：我觉得有可能成为一个L 形，因为他的长变高了，宽往边上延长，所以长和宽中间形成的一个图形，它延长完了之后一个大的正方形减掉一块正方形，变成一个L 形。

师：有减掉的吗？它的长整个跟着延长，高整个升高，首先会成为L 形吗？生：不可能。

师：好，不可能成为L 形，没有去掉的部分，整体的都是所有属于长的部分都跟着移动，所有属于高的部分都跟着移动。

那是不是就是这位同学说的可能是长方体，可能是正方体，又变化了？生：因为它的长在移动，它的宽是不会变的，所以它还是一个长方体。

师：把刚才的话再说一遍。

什么没有变？生：宽没有变。

师：宽没有变。

它只能是一个长方体。

同意吗？生：同意。

师：现在我们深入地一思考，高变了，长变了，但是只要宽不动，它无论怎么变，它也只能是一个长方体。

它要变成一个正方体的话，得怎么变？生：宽要变。

师：对，那要变到什么程度才是正方体。

生：长宽高一样。

师：长宽高一样才是正方体，对吧？生：对。

师：好！那也就是只有两个因素在变的话，它只有可能成为一个长方体。

那我们看看它变成了一个怎样的长方体。