第十八章平行四边形18.1 平行四边形平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.18.1.1 平行四边形的性质平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.例、已知：□ABCD求证：AD=BC，AB=DC；∠A=∠C，∠B=∠D.AD CD AD BC证明：连接AC，//,//∴∠=∠∠=∠12,34又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA，AD CB AB CD B D∴==∠=∠,,平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等.平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等.例、已知：如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△AOD≌△COB（ASA）.∴OA=OC，OB=OD.平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等.平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.例、如图，□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=21AC ，OB=OD ． ∵BD ⊥AB ，∴在Rt △A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ．∴BO=522=-AB AO ．∴BD=2B0=10cm ．∴在Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ．∴AD=61222=+BD AB (cm)．例、如图，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为25，AB=12，求对角线AC 与BD 的和.解：∵△AOB 的周长为25，∴OA+BO+AB=25，又AB=12，∴AO+OB=25-12=13，∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=2618.1.2 平行四边形的判定平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.例、 如图，在□ABCD 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE=CF ，连结CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，∵点E 在AD 上，点F 在BC 上，∴AE//CF ，又∵AE=CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形.例、如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．求证：（1）△AFD ≌△CEB ．（2）四边形ABCD 是平行四边形．解：（1）∵DF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CEB ． 又∵AF=CE ， DF=BE ，∴△AFD ≌△CEB ．（2）由(1)△AFD ≌△CEB 知AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．例、如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 为边AD 、BC 上的点，且AE=CF ，连结AF 、EC 、BE 、DF 交于M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AD ∥BC又∵AE=CF ，∴ED=FB ，四边形AFCE 是平行四边形∴AF ∥EC ．同理：BE ∥FD ．∴四边形MFNE 是平行四边形．18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线.矩形性质1：矩形的四个角都是直角.矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.例、如图，已知AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ，求证：四边形BCED 是矩形．证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BAD CAE ==∠=∠，，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，又DE=BC ，∴四边形BCED 为平行四边形.在△ACD 和△ABE 中，∵AC=AB ，AB=AE ，N M F E A B C DCAD CAB BAD CAB CAE BAE∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴△ADC≌△AEB∴CD=BE∴四边形BCED为矩形18.2.2 菱形菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形.菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线.菱形性质1：菱形的四条边都相等.菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分.菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角.菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形.菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.18.2.3 正方形正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形.正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线.正方形性质1：正方形的四个角都是直角.正方形性质2：正方形的四条边都相等.正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等.正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形.正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形.正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形.例、如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ， DH ⊥AB 于H ，求：DH 的长. ∵四边形ABCD 是菱形， 1AC BD OA OC AC 4cm OB OD 3cm 2∴⊥=====，，， ∴AB=5cm ， ABCD S AC BD AB DH ∴=⋅=⋅菱形，4.82AC BD DH cm AB⋅∴==． 例、已知：如图，菱形ABCD 的周长为16 cm ，∠ABC ＝60°，对角线AC 和BD 相交于点O ，求AC 和BD 的长.解：∵菱形ABCD 的周长为16cm ，060ABC ∠=∴AB=BC=4cm ，△ABC 是等边三角形，∴AC=4cm ，∵AC ，BD 互相垂直平分，∴OA=2224223OB cm ∴=-=43BD cm ∴=例、如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，PE ⊥BC ，垂足为E ， PF ⊥CD ，垂足为F ，求证：EF ＝AP证明：连接PC ，∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，四边形ABCD 是正方形，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四边形PECF 是矩形，∴PC=EF ，∵P 是正方形ABCD 对角线上一点，∴AD=CD ，∠PDA=∠PDC ，在△PAD 和△PCD 中， AD ＝CD ，∠PDA ＝∠PDC ，PD ＝PD ，∴△PAD ≌△PCD ，∴PA=PC ，∴EF=AP ，例、在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.试说明:DE=DF解：∵AB=AC，∠B=∠C∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB≌DFC= 90°∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF∴DE=DF.例、如图，ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由.解：四边形ABEF是菱形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∵AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴▱ABEF是菱形．AB CDEF。