双曲线知识点总结复习
1.双曲线的定义：
（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222
c a b =+），焦点在y 轴上时2
222-b
x a y ＝1（0a b >>）。

双曲线方程也可设为：
22
1(0)x y mn m n
-=>这样设的好处是为了计算方便。

（2）等轴双曲线：
（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。

）
例一：已知双曲线C 和椭圆22
1169
x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。

）
思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？
2.双曲线的几何性质：
（1）双曲线（以）（0,01-22
22>>=b a b
y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：
两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点
(,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2
a x c
=±；⑤离心
率：c
e a =，双曲线⇔1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。

⑥通
径22b a
（2）渐近线：双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线为：
等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为：
（注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）
例二：方程
1112
2=--+k
y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆
164
162
2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________
例四：双曲线142
2=+b
y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________
例五：已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，过点F 作直线PF 垂直于
该双曲线的一条渐近线l 于)3
6,33(P ．求该双曲线的方程为：
渐近线
准线
离心率
顶点
对称性
范围
3．直线与双曲线的位置关系：
（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交或直线与渐近线平行。

（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；
例六：过点P(1,1)与双曲线22
1916
x y -
=只有一个交点的直线共有条。

例七：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22
:14
y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

∆4、焦半径（双曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用双曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed ex a ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。

例八：经过双曲线2
2
1x y -=的左焦点1F 作倾斜角为
6
π
的弦AB 。

求的2F AB ∆周长。

例九：已知A （3，2），M 是双曲线H ：
上的动点，F 2是H 的右焦点，求
的最小值及此时M 的坐标。

5、弦长问题：（直线与椭圆的交点坐标设而不求） 若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB
＝2
121k
x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121
1y y k
-+
， （若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2
121k
y y +-。

特别地，焦点
弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，如例八。

）
例十：直线1+=x y 与双曲线13
22
2=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____________ 六、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和双曲线的交点设而不求）
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆1-22
22=b
y a x 中，以
00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
20
2y a x b ；
例十一：过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14
22
=-y x 的弦所在直线方程为_____________
例十二：已知双曲线C 2x 2－y 2=2与点P (1，2)
(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点
(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在
例十三：过双曲线的右焦点F 2作倾斜角为的直线，它们的交点为A 、B ，
求：
（1）线段AB 的中点M 与F 2的距离； （2）线段AB 的长度。

-1
1
21Q
P
o
y
x
例十四：双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，，求双曲线的方程。

例十五：过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。

例十三：双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，，求双曲线的方程。

解：设双：，直线PQ方程为
由，消去得
设P（），Q（）
若，故，则直线PQ与双曲线渐近线平行，与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故
故
由于P、Q在直线上可记为P（），Q（）
由OP⊥OQ，则
整理得
将（*）代入，又由，并整理得
即
由，则
由，得2
整理得将（*）式代入，又
代入，解得，从而，故双曲线方程
[例7] 过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。

解：设AB：代入双曲线方程并整理得
（*）
若，不合题意，若，由，得
若P是AB的中点，即
得（舍去）
此时，代入（*）
当不存在时，直线与双曲线只有一个公共点
因此这样的弦AB不存在
另法：设A（），B（），由A、B在双曲线上
两式相减得
，其中
，得
以下同解法1。