计算机数学基础（2）作业1 一、单项选择题1．数值x*的过似值x ，那么按定义x 的相对误差是（ ）。
A ． B ．C ．D ．2．当一个数x 表成x=±0．a1a2 … an ×10 m时，其中 是a1a2 ，…， an 是0～9之中的自然数，且a1≠0，e=|x - x*|≤ε=0.5×10m -l ，1≤1≤n ，则称x 有（ ）位有效数字。
A ．mB ．m - lC ．nD ．l 3．设 x=37.134678，取5位有效数字，x ≈（ ）。
A ．37.1347B ．37.13468C ．37.135D ．37.13467 二、填空题1．如果近似值 x 的误差限 是它某一个数位的 半个 单位，我们就说 x 准确到该位。
2 ．用mm 刻度的米尺测量一长度为x*的物体，测得近似值为x ，那么x 与x*之差的误差的误差限是 。
3．近似值作四则运算后的误差限公式ε（x 1 + x 2） =)()(21x x εε+，ε（x1 - x2） =)()(21x x εε+。
4．在运算过程中舍入误差不增加的算法称为数值稳定的算法。
5．数值计算中，普遍应注意的原则是 使用数值稳定的算法 ，防止两个相近数相减 ， 简化计算步骤，减少运算次数，避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 ，防止大数“吃掉”小数 。
三、计算题1． 表中各 x 的值都是精确值 x* 进行四舍五入得到的近似值，试分别指出其绝对误差限、相对误差限和有效数字位，并填入表中。
2 ．在下面 y 的计算中；那一个算得准，为什么？（1）已知|x|<< 1，（A ） y= - （B ） y=（2） 已知|x|<< 1，（A ） y= （B ） y=x* - x x x - x*|x – x*| x | x* - x|| x*|x* 1 (1+2x)(1+x) 11+x 2x 21+ 2x x2sin 2xx1-cos2x3．正方形的一连长约100cm ，问测量边长时允许绝对误差为多大，才能保证面积的绝对误差不超过1cm 2?计算机数学基础（2）作业2一、单项选择题1．用顺序消去法解线性方程组，消元过程中要求（ ）。
A ．a ij ≠0 B ．a 11 ≠0 C ．a kk ≠0 D ．a ij ≠02．用消去法解线性方程组，消元的第k - 1步，选主元a rk =( )A ．max |a ik |B ．max |a ik |C ．max |a kj |D ．max |a kj |二、填空题1．当线性方程组AX = b 满足条件 时，用消去法解可以不必选主元。
2．用迭代法求线性方程组AX = b 的数值解，就是将方程组 AX = b 变形为等价方程组 ，然后构造一个迭代格式 ，从某一个初始向量 X 出发逐次迭代求解。
3．用迭代法求线性方程组AX = b 的数值解，要求矩阵A 中的元素a ii 就可以建立雅可比迭代格式。
三、计算题x 1+2x 2+3x 3=1 1．用高斯顺序消去法解线性方程组 2x 1+7x 2+5x 3=6 x 1+4x 2+9x 3=-4(0) (k-1) (k-1)(k-1) l ≤i ≤nk ≤i ≤n(k-1) k ≤j ≤n(k-1)(k-1) k ≤j ≤n(0)2x1+x2+2x3=52．用列主元消去法解线性方程组 5x1-x2+x3=8x1-3x2-4x3=-4-0.002x1+2x2+2x3=0.43．用列主元消去法求解线性方程 x1+0.78125x2+3x3=4.08273.996x1+5.5625x2+4x3=7.41788x1-x2+2x3=244．用雅可比迭代法求解线性方程组 4x1+11x2-x3=336x1+3x2+12x3=365．用雅可比迭代法和高斯一赛德尔迭代法求解下列线性方程组 10x1-2x2-x3=3-2x1+10x2-x3=15-x1-2x2+5x3=10x1+2x2-2x3=16．设线性线性方程组 x1+x2+x3=12x1+2x2+x3=1试考察用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法求解线性方程组的收敛性。
计算机数学基础（2）作业3一、单项选择题1．通过点（x 0,y 0），（x 1,y 1），（x 2,y 2) 所作的插值多项式是（ ）。
A ．二次的B ．一次的C ．不超过二次的D ．大于二次的 2．函数f(x) 在节点x 3, x 4 , x 5 ,处的二阶均差f(x 3, x 4, x 5 )≠( )。
A ．f(x 5,x 4, x 3) B ．C ．D ．3．已知函数 y= f (x) 的数据为x 0 2 5 1 y 3 6 -9 0 则 f(2,1)=( )A ．6B ．-C ．- 3D ．- 54．记P （x ）是在区间[a,b]上的y=f(x)的分段线性插值函数，以下条件中是P （x ）必须满足的条件为（ ）。
A ．P （x ） 在[a , b]上连续 B ．P （x k ）=y k C ．P （x ） 在[a , b]上可导D ．P （x ）在各子区间上是线性函数5．用最小二乘法求数据（x k , y k ）(k=1,2,…，n)的拟合直线，拟合直线的两个参数a 0 ,a 1 使得（ ）为最小。
其中 y = ∑ y k, y = a 0+a 1x A ．∑（y k - y ）2B ．∑(y k -y k )2C ．∑(y k - y k )2D ．∑(y k - x k )26．求积公式I n =f(x 0)+(x 1)在[-1,1]上是（ ）次代数精度的。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．对于（ ）次的代数多项式，求积公式∫ f(x)dx ≈∑ A k f(x k )，精确成立，称具有m 次代数精度的。
A ．mB ．不超过mC ．小于mD ．大于mf （x 5）- f (x 5) x 5 – x 3f(x 3, x 4) – f(x 4 , x 5)x 3 – x 5f(x 3, x 4) – f(x 4 , x 5) x 3 – x 5 941 n nK=1∧ nk=1nk=1nk=1∧ nk=1nk=1ba8．当n=4时，复化抛物线求积公式∫ f(x)dx ≈（ ）。
A ． [f(x 0)+f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+f(x 4)]B ． [f(x 0)+4(f(x 1)+f(x 3))+2f(x 2)+f(x 4)]C ． [f(x 0)+2(f(x 1)+f(x 2)+f(x 3))+f(x 4)]D ． [f(x 0)+2(f(x 1)+f(x 3))+4f(x 2)]+f(x 4)] 9．已知x=0，1处的函数值f(0)和 f(1)，那么f'(1)≈（ ）.A ．f(0) - f(1)B ． f(1) - f(0)C ．f (0)D ． [f(0) + f(1)] 二、填空题1．通过三点（x i ，y i ）(i=0,1,2)的插值基函数公式是l 0(x)= ，l 1(x)=，l 2(x)= 。
2．三次样条函数S （x ）满足的条件是（1） ，（2） ，（3） 。
3．用最小二乘法求数据（x k ，y k ）(k=1，2，…，n)的拟合曲线y=a + blnx ，求系数 a ，b 需将数据（x k ，y k ）(k=1，2，…，n)变换成 。
4．科茨系数C k 具有性质 和 。
5．求积公式∫ f （x ）dx ≈∑ A k f(x k )具有 代数精度，称为高斯求积公式。
6．二点的高斯--勒让德求积公式的高斯点是 ，系数是 。
7．已知f(x 0)=y 0，f(x 1)=y 1,f(x 2)=y 2，用三点求导公式，有f'(x 0)= , f'(x 1)= ，f '(x 2) = 。
三、计算题1．利用函数y= x 在点x=1 和x=4的值，求x=2，x=3的开方值。
ba b - a3b - a 6b - a6b - a312 (n)ba nk=02．对于下面的数据，写出它的拉格朗多项式。
x 1 3 4 6y -7 5 8 143．已知 x =1，2，3，4时，函数值f (x) = 0，-5，-6.3．作f（x）的均差表。
4．对于如下数据试求牛顿插值多项式。
x i 0 1 2 3 4y i 1 4 15 40 855．给定函数值，试用分段线性插值法计算f（2）的近似值。
x -1 0 3 7 f(x) 2 0 4 76．已知数据如下，且知y'（0）=1，y'（3）=0，求区间[0，3]上的三次样条插值函数。
x 0 1 2 3y=f (x) 0 2 3 67．已知数据如下：P k 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16y ik 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110试求y对P 的拟合直线。
8．已知数据如下： x k 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81y k 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28试用二次多项式拟合该组数据。
9．分别用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分I =∫ ex dx 的近似值，并估计截断误差。
10．用两点高斯求积公式计算积分∫ 1+x 2dx 。
1 0 1 011．已知函数y=e x 的函数值 x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9y=e x 12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741取步长h=0.2 用二点求导公式计算 x = 2.7 处的导数值。
12．将区间[0，1]分成8等分，分别用梯形法和复化抛线公式计算积分I =∫ 1+x 2 dx13．已知数据x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6f(x) 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分I = ∫ f(x)dx 。
10 2.61.8四、证明题1．试证明均差有下列性质：（1）若F （x ）=cf(x)，则F(x 0,x 1,x 2,…, x n ) = cf(x 0,x 1,x 2,…, x n )。
（2）若F （x ）=f(x)+g(x)，则F(x 0,x 1,x 2,…, x n )= f(x 0,x 1,x 2,…, x n ) + g(x 0,x 1,x 2,…, x n )。
（3）设 f (x) = ，则f(x 0,x 1,x 2,…, x n )=2．验证当f (x) = x 5 时，科茨求积公式c = [7f(x 0)+32f(x 1)+12f(x 2)+32f(x 3)+7f(x 4)]精确成立，其中 x k =a + kh (k = 0,1,2,3,4), h = 。