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人大附中2021届高三数学试卷及答案

人大附中2021届高三数学试卷一、选择题:共10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<,{cos 0}A y y x x π==<<,,则A B =( )A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2.已知向量(,1)t =a ,(1,2)=b .若⊥a b ,则实数t 的值为( )A .2- B.2 C.12-D.123.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( )A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合,则a =( )C.5D.5. 已知3log 6a =,54log b =,若12log a m b >>,m *∈N ,则满足条件的m 可以为( )A.18B.14C.12D.16.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(A ,ω,ϕ均为正的常数)的最小正周期为π,当23x π=时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是( )A. (2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-9.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A .3 B .2 C .52 D .3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔,甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定:每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈;选手总分为各场得分之和.四场比赛后,已知甲最后得分为16分,乙和丙最后得分都为8分,且乙只有一场比赛获得了第一名,则下列说法正确的是( ) A. 每场比赛的第一名得分a 为4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题;共5小题,每小题5分,共25分 11.设i 为虚数单位,则11ii-+的虚部为 . 12.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长,则该椭圆的离心率为 .13.数列}{n a 的前n 项和为S n ,且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+=14. 椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且同时满足:①是等腰三角形; ②是钝角三角形; ③线段12F F 为的腰; ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是 .15.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论:① “水滴”图形与y 轴相交,最高点记为A ,则点A 的坐标为(0,1);2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C②在集合P 中任取一点M ,则M 到原点的距离的最大值为3;③阴影部分与y 轴相交,最高点和最低点分别记为C ,D ,则23CD =+;④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有 .三、解答题:共3小题,共35分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分11分)已知2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.(Ⅰ)求()f x 的单调递减区间;(Ⅰ)在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.17. (本小题满分12分)设函数2()e 3x f x m x =-+,其中∈m R .(Ⅰ)当()f x 为偶函数时,求函数()()h x xf x =的极值;(Ⅰ)若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点,求m 的取值范围.18. (本小题满分12分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ,(Q . (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅰ)过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E (异于点F ),求AB EF ⋅的最大值.四、选做题(本小题满分10分)设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.(Ⅰ)当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭;(Ⅱ)设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点,其中n ∈N ,证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-.人大附中2021届高三数学试卷答案一、选择题:共10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<,{cos 0}A y y x x π==<<,,则A B =( D )A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2.已知向量(,1)t =a ,(1,2)=b .若⊥a b ,则实数t 的值为( A )A .2- B.2 C.12-D.123.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( D )A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合,则a =( C )C.5D.5. 已知3log 6a =,54log b =,若12log a m b >>,m *∈N ,则满足条件的m 可以为( C ) A.18B.14C.12D.16.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的( D )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(A ,ω,ϕ均为正的常数)的最小正周期为π,当23x π=时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是( A ) (A )()()()220f f f <-< (B )()()()022f f f <<- (C )()()()202f f f -<< (D )()()()202f f f <<- 9.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为( B ) A .3 B .2 C .52 D .3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔,甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定:每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈;选手总分为各场得分之和.四场比赛后,已知甲最后得分为16分,乙和丙最后得分都为8分,且乙只有一场比赛获得了第一名,则下列说法正确的是(C )A. 每场比赛的第一名得分a 为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题;共5小题,每小题5分,共25分 11.设i 为虚数单位,则11ii-+的虚部为 .-112.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长,则该椭圆的离心率为 . (答案:21-5)13.数列}{n a 的前n 项和为S n ,且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+= 63 1.n-;14. 椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且同时满足:①是等腰三角形;②是钝角三角形; ③线段12F F 为的腰; ④椭圆上恰好有4个不同的点P .则椭圆的离心率的取值范围是___________.1(,2-1)315.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论: ① “水滴”图形与y 轴相交,最高点记为A ,则点A 的坐标为(0,1); ②在集合P 中任取一点M ,则M 到原点的距离的最大值为3; ③阴影部分与y 轴相交,最高点和最低点分别记为C ,D ,则23CD =+;④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________.②④三、解答题:共3小题,共35分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分11分) 设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C(Ⅰ)求()f x 的单调递减区间;(Ⅰ)在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.解:(Ⅰ)由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=- x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x . …………………………………………2分 由 ππππk x k 223222+≤≤+, 得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈), 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-(Z k ∈). ……………………4分(II )11()sin 0,sin 222A fA A =-=∴= 由题意A 是锐角,所以 cos 2A =, …………………………………………6分 由余弦定理:A bc c b a cos 2222-+= 2212b c bc=+≥可得32321+=-≤∴bc ,且当c b =时成立. (9)分2sin 4bc A +∴≤,ABC ∆∴面积最大值为432+.………………………11分 17. (本小题满分12分)设函数2()e 3x f x m x =-+,其中∈m R .(Ⅰ)当()f x 为偶函数时,求函数()()h x xf x =的极值;(Ⅰ)若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点,求m 的取值范围. 解:(Ⅰ)由函数()f x 是偶函数,得()()f x f x -=,即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立,所以0m =. ……………… 1分此时3()()3h x xf x x x ==-+,则2()33h x x '=-+.由()0h x '=,解得1x =±. ……………… 2分 当x 变化时,()h x '与()h x 的变化情况如下表所示:所以(h 在(,1)-∞-,(1,)+∞上单调递减,在(1,1)-上单调递增.………… 4分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-,()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 5分(Ⅰ)由2()e 30xf x m x =-+=,得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=,[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 6分对函数()g x 求导,得223()exx x g x -++'=. ……………… 7分 由()0g x '=,解得11x =-,23x =. ……………… 8分 当x 变化时,()g x '与()g x 的变化情况如下表所示:所以g 在(2,1)--,上单调递减,在(1,3)-上单调递增. ………… 10分 又因为2(2)e g -=,(1)2e g -=-,36(3)(2)e g g =<-,413(4)(1)e g g =>-, 所以当4132e e m -<<或36e m =时,直线y m =与曲线23()ex x g x -=,[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时,函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点.…… 12分 18. (本小题满分12分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ,(Q . (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅰ)过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E (异于点F ),求AB EF ⋅的最大值.18.解:(Ⅰ)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,2P ,(Q ,所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=.……………………………4分 (Ⅰ)由题易知直线l 的斜率不为0,设l :1x ty =+,由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=,显然0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ,则12122221,22t y y y y t t --+==++.……5分又12AB y =-===………………………7分以FP为直径的圆的圆心坐标为(1,4,半径为4r =, 故圆心到直线l的距离为d ==所以EF ===分所以AB EF ⋅=== 因为211≥t +,所以221(1)21≥t t +++,即221114(1)21≤t t ++++.所以1≤AB FE ⋅=.…………………………………11分当0t =时,直线与椭圆有交点,满足题意,且1AB FE ⋅=, 所以AB FE ⋅的最大值为1.………………………………12分四、选做题(本小题满分10分)设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.(Ⅰ)当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭;(Ⅱ)设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点,其中n ∈N ,证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-.(Ⅰ)证明:记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭.依题意有()e (cos sin )x g x x x =-,从而()2e sin x g'x x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0()g'x <,故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.………………….2分因此,()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以,当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭.…….……………………….4分(Ⅱ)证明:依题意,()()10n n u x f x =-=,即cos e 1n x n x =.记2n n y x n =-π,则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N .因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及(Ⅰ),所以0n y y ≥. (6)分由(I )知当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g'x <,所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数, 因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭. 又由(I )知,()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥⎪⎝⎭, ………………………………….8分 故()()()()()022********s e e e e e in cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤-=--≤<. 所以,20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-.…………………………………………….10分。

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