第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中（1） 势能的平均值2212U x μω=（2） 动能的平均值22p T μ=（3） 动量的几率分布。
解：(1) ⎰∞∞--==dx ex x U x 2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=（22102n ax n n x e dx a ∞-+=⎰(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41= 或 ωωω 414121=-=-=U E T(3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαππαπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==5. 氢原子处于(,,)r a r ψθϕ-=态，求（1） r 的平均值。
（2） －e 2/r 的平均值 （3） 最可几半径. （4） 动能平均值.解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/2320⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=/233004dr a r a a r （ 1!n ax n n x e dx a∞-+=⎰ ）04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-= 2/23004)(r e a r a r -=ω0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
(4)2222ˆ21ˆ∇-==μμ p T 22222111()(sin )sin sin r r r r θθθθθϕ⎡⎤∂∂∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦⎰⎰⎰∞--∇-=ππϕθθπμ02002/2/302 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ⎰⎰⎰∞---=ππϕθθπμ02002/22/302 sin )]([11200d drd r e dr d r dr d re a a r a r ⎰∞----=0/02032 )2(1(240dr e a r r a a a r μ2220204022)442(24a a a a μμ =-= 6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为 0==θe er J J ， 2 sin e n me mJ r ϕψμθ=-证：电子的电流密度为)(2**m n m n m n m n e i e J e J ψψψψμ∇-∇-=-=∇在球极坐标中为 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r e e r r e r式中ϕθe e e r、、为单位矢量])sin 11( )sin 11([2**m n r m n mn r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψϕθθψψϕθθψμϕθϕθ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-=-=)]sin 1sin 1()1 1()([2******m n mn m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψϕψθψϕψθψθψψθψψψψψμϕθ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂-=m n ψ中的r 和θ部分是实数。
∴ ϕψψθμe im im r ie J m n m n e)(sin 222---= ϕψθμe r m e m n2sin -=可见，0==θe er J J 2sin m n e r m e J ψθμϕ-=7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成(1) 求一圆周电流的磁矩 (2) 求证氢原子磁矩为 z M M == 2meμ- 解：(1) 一圆周电流的磁矩为A dS J iA dM e ⋅==ϕ （i 为圆周电流，A 为圆周所围面积） 22)sin (sin θπψθμr dS r m e m n ⋅-=dS r me m n 2sin ψθπμ-=θψθπμdrd r me m n 22sin -= )(θrdrd dS =(2)氢原子的磁矩为 ⎰⎰⎰∞-==πθθψπμ22sin drd r me dM M m n⎰⎰∞⋅-=πθθψπμ0022sin 22drd r m e m nϕθθψμππd drd r m e m n ⎰⎰⎰∞-=200022 sin 2μ2me -= )(SI 原子磁矩与角动量之比为)( 2SI eL M L M z z z μ-== 8. 求一维无限势阱中粒子动量与位置的测不准关系22()()?x p ∆∆=[解]设宽为a 的一维无限势阱的波函数为()2nx x a aψ=+ 222()x x x ∆=- 222()p p p ∆=- 2*2x x dx ψψ=⎰221sin ()2a a n x x a dx a a π-=+⎰ 212[1cos ()]22a a n x x a dx a a π-=-+⎰32111cos ()232a a a a n x x x a dx a a aπ--=⋅-+⎰ 221[sin ()]32a a a a n x d x a a n a λλ-=-+⎰ 221[sin ()2sin()]32aaaaa nx n x x a x a xdx nx aaλ--=-+-+⎰ 21[cos ()]3a a a n xd x a n a λλ-=++⎰ 222[cos ()cos()]3aa aaa a n nxx x a x a dx n x a aλ--=++-+⎰ 2222203a a n x =+-222223a a n x =+ 21sin ()2n x x x a dx a a λ=+⎰ 1[cos ()]2n x x x a dx a a λ=-+⎰ 11cos ()22a a a a n xdx x x a dx a a a λ--=-+⎰⎰ 1[sin ()]2a a a n xd x a a nx aλ-=-+⎰1[sin ()sin ()]2nx nx x x a x a dx nx a a =-+-+⎰0=*ˆp pdx ψψ=⎰ 1sin ()[sin ()]22nx n x a i x a dx a a x a αλα=++⎰ sin ()cos ()222i n n n x a x a dx a a a a πππ=++⎰2sin ()4i n nx x a dx a aπ=+⎰0p =2*2ˆp pdx ψψ=⎰ 22sin ()2nx x a dx a a-=+⎰ 222sin()22nx nxx a dx a a a⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰ 22232[1cos()]/242n n x a dx a aλλ=-+⎰ 222222332cos()88n n x n a x a dx a a aλλ=⋅-+⎰ 22224n x a= 22222222()3a a x x x n π∴∆=-=+2222222()4n p p p a λ∆=-=2222222222222222()()()343424a a n n x x p n a λλ⎛⎫∴∆∆=+=+> ⎪⨯⎝⎭ 9. 证明氢原子中电子2ˆL 与ˆzL 是守恒量 [证明]氢原子的哈密顿算符 22222ˆˆ()()22LHr u r r r r r μμ∂∂=-++∂∂因2ˆL与ˆr 是相互对易的 且2ˆL 与2ˆL 也是对易的。