项目投资的最优问题摘要本文主要讨论项目投资的最优化问题。

首先对该问题进行分析，建立相应的数学模型，以使得投资获得的总利润达到最大值。

这是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，以资金总额加上各种投资项目的限制为约束条件。

再用lingo软件对问题进行求解，得到比较理想的结果。

在本文最后我们对项目投资最优的建模方法做了评价，对其算法进行综合考虑并做了简要分析关键字：线性规划；LINGO软件；优化模型； 0-1规划一、问题的重述与分析随着市场经济的快速发展，投资各个项目进行盈利已成为许多公司取得利润的主要途径，但盈利的多少与项目的选择息息相关，所以有时需要对项目进行选择性投资。

本题就是针对这样一个问题建立数学优化模型，用数学的眼光看待及解决这个问题。

项目j 所需投资额和预期收益分别为：aj 、cj(j=1,2,...,n) （1）若选择项目1，就必须选择项目2，反之不一定；（2）项目3和4中至少选择一个；（3）项目5、6、7中恰好选择两个。

问题：在各项目只可进行单次投资（模型一）和可重复投资（模型二）两种情况下分别建立一个数学优化模型，如何选择投资项目使投资收益最大化。

二、模型假设1.无交易费和投资费用等的费用开支；2.投资期间市场发展基本稳定；3.投资期间社会政策无较大变化；4.公司的经济发展对投资无较大影响；三、符号说明ja :项目j 所需投资金额； c j :项目j 的预期收益金额； x j :投资项目的决策变量（x j =0,1）； z:投资的最大收益ij a ：项目j 投资i 次所需投资金额；ij c ：项目j 投资i 次的预期收益金额；四、模型建立（1）模型一：各项目只可进行单次投资,通过问题分析，运用线性规划的方法建立模型一。

目标函数为：).....4,3,2,1(max 1n j c x z nj j j ==∑=注：j x = 1表示投资该项目，0表示不投资该项目（运用0-1规划） 约束条件：B xa nj jj ≤∑=1012≥-x x （项目1和项目2的选择投资的限制）143≥+x x （项目3和项目4的选择投资的限制） 2765=++x x x （项目5、6、7的选择投资的限制）（2）模型二：各项目可重复投资, 通过问题分析，运用线性规划的方法建立模型二。

目标函数：)...2.1,3,2,1(max 11n j i c x z nj ij j ni ===∑∑==约束条件：10j 1j 2≤-≤x x （项目1和项目2的选择投资的限制）10j 4j 3≤+≤x x （项目3和项目4的选择投资的限制）2076j 5=++≤j j x x x （项目5、6、7的选择投资的限制）∑∑==≤n j j i ij ni B x a 11五、模型求解（1）、对于模型一，假设资金额总数（单位：万元）为B 为100，投资项目N=7，项目投资额与预期收益的金额如下表： 单位：万元运用longo 软件求的最大的投资收益为：30万元；所选择的投资项目与各项目的预期收益情况如下表：最大的投资收益：30万元Lingo 软件的编辑程序详见附录1。

（2）对于模型二，假设资金额总数（单位：万元）为B 为100，投资项目N=7，j 3a 30 45 60 42 78 45 57 j 1c 3 4 5 3 6 7 8 j 3c912159182124运用lingo求解所得最大收益为40万元；Lingo软件的编辑程序详见附录2所选择的投资项目与各项目的预期收益情况如下表：单位：万元次数0 0 0 1 0 3 2 收益0 0 0 3 0 21 16 金额投资预期收益总金额：40万元六、模型的评价与推广本文合理的运用了0-1线性规划及lingo软件等对其建立了优化模型并予以解决，总体结构比较严谨完整，内容详细明了，思路清晰，但是对lingo软件的程序编辑稍有欠缺，总体不够熟练；从文中对该题的解法可推广到当今社会各种项目投资方面，如银行投资取得利息问题，各大企业项目投资等，为其资金分配，投资方案的选择提供方便。

附录：附录1：model:max=x1*3+x2*4+x3*5+x4*3+x5*6+x6*7+x7*8;x1*10+x2*15+x3*20+x4*14+x5*26+x6*15+x7*19<=100;x2-x1>=0;x3+x4>=1;x5+x6+x7=2;@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);@bin(x5);@bin(x6);@bin(x7);EndGlobal optimal solution found.Objective value: 30.00000Objective bound: 30.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 -3.000000 X2 1.000000 -4.000000 X3 1.000000 -5.000000 X4 1.000000 -3.000000 X5 0.000000 -6.000000 X6 1.000000 -7.000000 X7 1.000000 -8.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 30.00000 1.0000002 7.000000 0.0000003 1.000000 0.0000004 1.000000 0.0000005 0.000000 0.000000附录2：model:max=x11*3+x12*6+x13*9+x21*4+x22*8+x23*12+x31*5+x32*10+x33*15+x41*3+x4 2*6+x43*9+x51*6+x52*12+x53*18+x61*7+x62*14+x63*21+x71*8+x72*16+x73*24 ;x11*10+x12*20+x13*30+x21*15+x22*30+x23*45+x31*20+x32*40+x33*60+x41*14 +x42*28+x43*42+x51*26+x52*52+x53*78+x61*15+x62*30+x63*45+x71*19+x72*3 8+x73*57<=100;(x21+x22+x23)-(x11+x12+x13)>=0;x21+x22+x23>=0;x21+x22+x23<=1;0<=(x11+x12+x13);x11+x12+x13<=1;(x31+x32+x33)+(x41+x42+x43)>=1;0<=(x31+x32+x33);x31+x32+x33<=1;0<=(x41+x42+x43);x41+x42+x43<=1;0<=(x51+x52+x53);x51+x52+x53<=1;0<=(x61+x62+x63);x61+x62+x63<=1;0<=(x71+x72+x73);x71+x72+x73<=1;(x51+x52+x53)+(x61+x62+x63)+(x71+x72+x73)=2;@bin(x11);@bin(x12);@bin(x13);@bin(x21);@bin(x22);@bin(x23);@bin(x31);@bin(x32);@bin(x33);@bin(x41);@bin(x42);@bin(x43);@bin(x51);@bin(x52);@bin(x53);@bin(x61);@bin(x62);@bin(x63);@bin(x71);@bin(x72);@bin(x73);EndGlobal optimal solution found.Objective value: 40.00000Objective bound: 40.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 -3.000000 X12 0.000000 -6.000000 X13 0.000000 -9.000000 X21 0.000000 -4.000000 X22 0.000000 -8.000000 X23 0.000000 -12.00000 X31 0.000000 -5.000000 X32 0.000000 -10.00000 X33 0.000000 -15.00000 X41 1.000000 -3.000000 X42 0.000000 -6.000000 X43 0.000000 -9.000000 X51 0.000000 -6.000000 X52 0.000000 -12.00000 X53 0.000000 -18.00000 X61 0.000000 -7.000000 X62 0.000000 -14.00000 X63 1.000000 -21.00000 X71 0.000000 -8.000000 X72 1.000000 -16.00000 X73 0.000000 -24.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 40.00000 1.0000002 3.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 1.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 1.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 1.000000 0.00000011 1.000000 0.00000012 0.000000 0.00000013 0.000000 0.00000014 1.000000 0.00000015 1.000000 0.00000016 0.000000 0.00000017 1.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.000000。