第一章Matlab神经网络工具箱介绍和数值试验1.1Matlab神经网络工具箱中BP网络相关函数介绍MATLAB神经网络工具箱中包含了许多用于BP网络分析和设计的函数。

BP网络的常用函数如表4-1所示。

[10,12]表4-1 BP网络的常用函数函数类型函数名称函数用途前向网络创建函数newcf 创建一个多层前馈BP网络newff 创建一个前向BP网络newfftd 创建一个前馈输入延迟BP网络传递函数logsig S型的对数函数dlogsig Logig的导函数tansig S型的正切函数dtansig tansig的导函数purelin 纯线性函数学习函数traingd 基于标准BP算法的学习函数trainrp 采用Rprop算法训练trainlm 采用LM算法训练traincgf 基于共轭梯度法的学习函数仿真函数sim 仿真一个神经网络1.2数值试验1.2.1.“异或”问题“异或”问题（XOR）是典型的非线性划分问题。

这里以它为例，简单介绍BP网络的使用。

在Matlab7.0环境下，建立一个三层的BP神经网络，其中输入层和隐层分别各有两个神经元，输出层有一个神经元。

现要求训练这一网络，使其具有解决“异或”问题的能力。

“异或”问题的训练输入和期望输出如表5-1。

表5-1 异或问题的训练输入和期望输出1X 2X 1d0 0 0 0 1 1 1 0 1 111）基于标准BP 算法结果如下及图5.1所示：横轴表示迭代次数，纵轴表示误差。

迭代到第240次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为9.97269e-005，此时的梯度为0.00924693。

05010015020010-410-310-210-110101240 EpochsT r a i n i n g -B l u e G o a l -B l a c kPerformance is 9.97269e-005, Goal is 0.0001图5.1 基于标准BP 算法的“异或”问题2）基于共轭梯度法结果如下及图5.2所示：横轴表示迭代次数，纵轴表示误差。

迭代到第16次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为9.0770e-005，此时的梯度为0.00318592。

024681012141610-410-310-210-11010116 EpochsT r a i n i n g -B l u e G o a l -B l a c kPerformance is 9.07705e-005, Goal is 0.0001图5.2 基于共轭梯度法的“异或”问题3） 基于LM 算法结果如下及图5.3所示：横轴表示迭代次数，纵轴表示误差。

迭代到第4次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为8.8892e-006，此时的梯度为0.00727382。

10-610-510-410-310-210-1101014 EpochsT r a i n i n g -B l u e G o a l -B l a c kPerformance is 8.88918e-006, Goal is 0.0001图5.3 基于LM 算法的“异或”问题4） 基于RPROP 算法结果如下及图5.4所示：横轴表示迭代次数，纵轴表示误差。

迭代到第31次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为4.6696e-005，此时的梯度为0.00721433。

5101520253010-410-310-210-11010131 EpochsT r a i n i n g -B l u e G o a l -B l a c kPerformance is 4.66955e-005, Goal is 0.0001图5.4 基于RPROP 算法的“异或”问题1.2.2. 连续函数拟合问题一个神经网络最强大的用处之一是在函数逼近上。

它可以用在诸如被控对象的模型辨识中，即将过程看成一个黑箱子，通过测量其输入/输出特性，然后利用所得实际过程的输入/输出数据训练一个神经网络，使其输出对输入的响应特性具有和被辨识过程相同的外部特性[10]。

1）线性函数拟合使用标准BP 算法，对函数y =5x 进行拟合。

结果如图5.5，红色虚线和“＋”号表示拟合结果。

迭代到第8次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为2.49485e-005，此时的梯度为0.0190722。

-5-4-3-2-1012345图5.5 线性函数拟合2） 二次函数拟合使用RPROP 算法，对函数2y =x -4进行拟合。

结果如图5.6，红色虚线和“＋”号表示拟合结果。

迭代到第320次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为9.9923e-005，此时的梯度为0.00135595。

-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3.8-3.6-3.4-3.2-3-2.8-2.6图5.6 二次函数拟合3） sin 函数拟合使用共轭梯度算法，对函数y =sin x 进行拟合。

结果如图5.7，红色虚线和“＋”号表示拟合结果。

迭代到第119次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为9.92315e-005，此时的梯度为0.0025562。

10.80.60.40.2-0.2-0.4-0.6-0.8-1图5.7 sin函数拟合4）指数函数拟合使用LM算法，对函数y=x e进行拟合。

结果如图5.8，红色虚线和“＋”号表示拟合结果。

迭代到第8次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为5.99591e-005，此时的梯度为0.0544397。

-2-1.5-1-0.500.51 1.52012345678图5.8 指数函数拟合5） 复合函数拟合使用LM 算法，对函数sin 1y = x e 进行拟合。

结果如图5.8，红色虚线和“＋”号表示拟合结果。

迭代到第9次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为9.73363e-005，此时的梯度为0.0163562。

-2-1.5-1-0.50.511.52-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图5.9 复合函数拟合1.2.3. 3-bit Parity 问题这次仿真我们考虑3-bit Parity 问题，该问题被认为是“异或”问题的三位形式。

这个问题描绘了三个二进制输入得到一个二进制输出的过程。

如果输入中1的个数是奇数个，则输出是1。

反之，输出为0[14]。

3-bit Parity 问题的训练输入和期望输出如表5-2。

表5-2 3-bit Parity 问题的训练输入和期望输出1X 2X 3X 1d0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 11111） 基于标准BP 算法结果如下及图5.10所示：横轴表示迭代次数，纵轴表示误差。

迭代到第113次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为9.99979e-005，此时的梯度为0.00799224。

02040608010010-410-310-210-1100101113 Epochs T r a i n i n g -B l u e G o a l -B l a c k Performance is 9.99979e-005, Goal is 0.0001图5.10 基于最速下降法的3-bit Parity 问题2） 基于共轭梯度法结果如下及图5.11所示：横轴表示迭代次数，纵轴表示误差。

迭代到第60次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为9.42383e-005，此时的梯度为0.0161969。

10203040506010-410-310-210-110060 Epochs T r a i n i n g -B l u e G o a l -B l a c k Performance is 9.42383e-005, Goal is 0.0001图5.11 基于共轭梯度法的3-bit Parity 问题3） 基于LM 算法结果如下及图5.12所示：横轴表示迭代次数，纵轴表示误差。

迭代到第19次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为 9.49592e-006，此时的梯度为0.025507。

02468101214161810-610-510-410-310-210-110010119 Epochs T r a i n i n g -B l u e G o a l -B l a c k Performance is 9.49592e-006, Goal is 0.0001图5.12 基于LM 算法的3-bit Parity 问题4） 基于RPROP 算法结果如下及图5.13所示：横轴表示迭代次数，纵轴表示误差。

迭代到第33次时达到预设精度。

迭代停止时，误差为9.09842e-005，此时的梯度为0.0115333。

05101520253010-410-310-210-110033 Epochs T r a i n i n g -B l u e G o a l -B l a c k Performance is 9.09842e-005, Goal is 0.0001图5.13 基于RPROP 算法的3-bit Parity 问题第二章总结BP网络的算法实际上就是解决一个无约束最优化问题。

标准BP算法是BP 神经网络的最基本的算法，使用了最速下降法的思想，所以它不可避免的具备了最速下降法所带了的缺点。

为了克服标准BP算法的缺陷，人们进行了更深入的研究，对标准BP算法进行了改进，并提供了一系列快速学习算法，以满足解决不同问题的需要。

快速BP算法从改进途径上可分为两大类：一类是采用启发式学习方法，如引入动量因子的学习算法、变学习速率学习算法等；另一类则是采用更有效的数值优化方法，如共轭梯度学习算法、Levenberg-Marquardt算法以及B&B算法等。

对于不同的问题，在选择学习算法对BP 网络进行训练时，不仅要考虑算法本身的性能，还要视问题的复杂度、样本集大小、网络规模、网络误差目标和所要解决的问题类型而定[10]。

2.1各种算法的优缺点比较标准BP算法易于理解，方法简单，每一次迭代的工作量较小，所需要的存储空间也较小，而且即使从一个不好的初值开始计算，也可以保证算法的收敛性[11]。

不过正如前文中数值试验所表现的那样，标准BP算法在收敛速度上很慢，迭代次数很多，而且受学习率的影响很大。

Levenberg-Marquardt算法是使用于训练BP网络问题的牛顿算法的一个简单版本。

它的突出优点是收敛速度快，而且收敛误差小。

它的缺点也很突出，它所需的存储空间很大，计算量也很大，所以当网络规模增大时，它的性能会变得很差。

另外，LM算法对初值的选择很敏感，不恰当的初值会使算法不收敛。