第8 章
物质运动状态的量子力学描述
主要公式
自由平动子：能级
22222
22
,(1,2,3,)
28
t
n h n
q n
ma ma
π
===⋅⋅⋅
h
简并度1
t
ω=
刚性转子：能级
2
(1)
2
r
J J
I
ε
+h
（I为转动惯量）
简并度21
r
J
ω=+（J=0，1，2，3，…）
三维各向同性谐振子：能级
3
(
2
r x y z
n n n
ε=+++hv
简并度
(1)(2)
,()
2
v x y z
n n
n n n n
v
ω
++
==++
=
（f为力常数）
分子能量:
t r v e n
εεεεεε
=++++
分子简并度:
t r v e n
ωωωωωω
=
例题分析
例8.1双原子分子12C16O，其中原子摩尔质量为m(16O )=15.99491g·mol-1，m(12C )=12.00000g·mol-1。

（1）T=298 K ，在a=1.000m范围内平动，请计算n=1及n=2能级的平动能及两能级之间的能量差，各相当于k B T的多少倍。

（2）当发生转动能级跃迁J=0↔1，12C16O微波吸收光谱为115271.20MH z，请计算核间距
co
r、
转动惯量I几转动能级能量
,r t
ε及
r
ε∆。

（3）振动激发时，从低分辨的红外吸收光谱，测得，求振动运动的力常数，振动频率，基态和第一激发态的振动能，能级差。

解析：这是从实验数据及量子力学原理去了解粒子的微观运动状态，这也是统计力学的基础。

说明A 代替ε)
（2）根据量子力学原理，B 为转动常数 22,,2(1),28e r r C h
B I B J B
I μγωωπ==+∆=61281
1
115271.2(10/1)(1/1)(10/1)2.997925103.84503Z
r z z Z MH H MH s H m cm m s
cm ω----=
⨯⨯⨯⋅= 1/2(0)/2 1.92252r r B cm ωω-=∆=-=
161216
122-23-123-1
26()()()()
(15.9949112.00000)g mol (10kg/g)
(15.9949112.00000)g mol 6.02204510mol 1.13851810kg mol
m O m C m O m C μ--⨯=+⨯⋅⨯=+⋅⨯⨯=⨯⋅
根据
28c
h I B π=
[
46
12
2.799310],(/)(/)
e cm kg r m μ--⨯= 461/2
102.799310(
) 1.130910/e r m kg
μ--⨯==⨯ 222
28,12
7,0(1)128.26510J 22242.00910(0,0)r J B r J J h h I I I k T J εεππε--⎛⎫+⨯====⨯=∆ ⎪⎝⎭=⨯==h
（3）1/2
1/2
-1212
-1V 10/N m 5.308810cm 2πc /kg f f ωμμ--⎛⎫⎛⎫
⋅=
≥=⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
2
26-1-1122142.61 1.13851810N m 1854.5N m 5.308810f --⎛⎫
=⨯⨯⋅=⋅ ⎪
⨯⎝⎭
1/2
25V,0
011 3.2371610J 222h f hv επμ-⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭
25,1119.7115102
v hvo J ε-⎛⎫
=+=⨯ ⎪⎝
⎭
2546.474310 1.573610v B J k T ε--∆=⨯=⨯
讨论：从计算中应对微观运动各种运动形式的能级、能级差建立起数量级的概念、并对平动、转动、振动能级分布的经典或量子处理有明确的认识。

习 题
1、根据能量均分定律，求算氢分子在300K 时的平均平动能。

当它在63110V m -=⨯中运
动时，与此平均动能相当的平动量子数平方之和（222x
y z n n n ++）为多少？相邻两个平动能级间隔t ε∆有多大？可否认为气体分子具有连续的平动能谱？ 2、在晶体中，原子振动时的弹力常数f 约为-110N m ⋅。

（1）求证原子的振动频率v 约为1214110~10s -；
（2）分别估算铅及金刚石中300K 时之/B hv k T 值。

3、各种运动形式之粒子能级差典型值为422320t r v 10J,10J,10J εεε---∆=∆=∆=。

请根据
/exp[()/]i i j i B N N k T εε=-计算在100K,298K,1000K T =时各种运动形式在两个相邻能级上
粒子数分布之比值，并对结果进行讨论。

4、根据经典力学中能一均分定律，每一个运动自由度上分子的平均能一为/2B k T 。

对于2()N g ，若在边长为0.3000a m =的立体中运动，且298T K =，转动惯量
46211.40710,2354.999I kg m v cm --=⨯⋅=。

请计算平动、转动、振动时的分子平均能量()ε，相
邻两能级的级差ε∆及经值/()εε∆，由此可得出什么结论？ 习题简解
1、422320t r v 10J,10J,10J εεε---∆=∆=∆= 2/3
222162
8()() 3.7910x
y
z
mV n n n h
ε++==⨯ 2
372/3
(1,,)(,,)3 4.9210J 8t x y z x y z h n n n n n n mV
εεε-∆=+-=⨯=⨯ 214.1410J,B t B k T k T ε-=⨯∆<<，可认为具有连续平动能谱。

2、（1）令m 为242710~10kg --/分子
1214110~10v S -=
（2）25121B Pb : 3.4410kg,8.5810s ,/ 1.37m v hv k T --=⨯=⨯= C(金刚石)26131: 1.9910, 3.5710,/ 5.71B m kg v s hv k T --=⨯=⨯= 3、根据[]212121B /(/)exp ()/N N k T ωωεε=--计算，结果如下：
21基本处于基态。

4、平动21B ()3/2 6.1710J t k T ε-==⨯
2
2
2
2
2
2
2
412
[(211)(111)] 4.105108t h J ma
ε-∆=++-++=⨯ 21/() 6.7410t r εε-∆=⨯ 转动004.1210r B k T J ε==⨯
2223[1(11)](/8)0(0)7.9010r h I J J επ-∆=++-==⨯ /()0.0192r r εε∆= 振动1317.060110v s -=⨯ 2020
(0)/2 2.39310(1)3/27.01710
v v hv J hv J
ευευ--===⨯===⨯
204.62110v J ε-∆=⨯
/ 1.93v v εε∆=
振动运动能级（低温或常温下）是分立的，而平动、转动往往可当连续分布处理。