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2012年湖南高考数学试题(理数)
A
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD ,即1 × (1 + 2) = (3 - r )(3 + r ),∴ r = 6.
D
O
B
i
CP
A
【点评】本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知 PA ⋅ PB = PC ⋅ PD , 从而求得圆的半径.
-5-
(二)必做题(12~16 题) 12.已知复数 z = (3 + i) 2 (i 为虚数单位),则|z|=_____. 【答案】10 【解析】 z = (3 + i) 2 = 9 + 6i + i 2 = 8 + 6i , z = 82 + 6 2 = 10 . 【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 a + bi( a, b ∈ R) 形式,利用
2 2 2
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了 数形结合的思想 和基本运算能力,是近年来常考题型.
-2-
6. 函数 f(x)=sinx-cos(x+
π )的值域为 6
C.[-1,1 ] D.[-
A. [ -2 ,2] 【答案】B
B.[- 3 , 3 ]
3 , 2
3 ] 2
y = log 2 x C A O
1
D B
y=
8 2m + 1
y=m x
【点评】在同一坐标系中作出 y=m,y=
8 (m>0), y = log 2 x 图像,结合图像可解得. 2m + 1
二 、填空题: 本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分 ,共 35 分,把答案填在答 题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 9、10、 11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分 ) 9. 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ⎨
【答案】 −4 【 解 析 】 输 入 x = −1 ,n=3, , 执 行 过 程 如 下 : i = 2 : S = −6 + 2 + 3 = −3 ;
i = 1: S = −3( −1) + 1 + 1 = 5 ; i = 0 : S = 5( −1) + 0 + 1 = −4 ,所以输出的是 −4 .
3 3 意知 3 − r = 0, r = 3 ,所以二项展开式中的常数项为 T4 = C3 6 2 ( −1) = −160 .
【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图 3 所示的程序框图,输入 x = −1 ,n=3,则输出的数 S= .
x2 y 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c = 10, c = 5 . a 2 b2 b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,∴1 = i2 ,即 a = 2b . a a
又∵ C 的渐近线为 y = ±
x2 y 2 又 c = a + b ,∴ a = 2 5,b = 5 ,∴ C 的方程为 =1. 20 5
π ,则 tanα=1”的逆否命题是 4 π π A.若α≠ ,则 tanα≠1 B. 若α= ,则 tanα≠1 4 4 π π C. 若 tanα≠1,则α≠ D. 若 tanα≠1,则α= 4 4
2.命题“若α= 【答案】C 【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ¬p ,则 ¬q ” ,所以 “若α= =1”的逆否命题是 “若 tanα≠1,则α≠
-1-
是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样 本数据(xi,yi) (i=1,2, …,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ̂ y =0.85x-85.71,则下列结 论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重比为 58.79kg 【答案】D 【解析】 【解析】由回归方程为 ̂ y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大,所以 y 与 x 具有正的线
【解析】曲线 C1 : ⎨
曲线 C2 : ⎨
⎧ x = a sin θ , x2 y 2 直角坐标方程为 2 + = 1 ,其与 x 轴交点为 (− a, 0), (a, 0) , a 9 ⎩ y = 3cos θ
-4-
由 a > 0 ,曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 X 轴上,知 a =
x2 y 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a 2 b2
D.
A.
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
x2 y 2 =1 20 80
[w~#ww.z z &s t^@ ]
【答案】A 【解析】设双曲线 C :
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】∵ N = {0,1} M={-1,0,1} ∴ M∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分. 先求出 N = {0,1} ,再利用交集定义得出 M∩N.
π ,则 tanα 4
π ”. 4
【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题 的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是
【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下 面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能
ˆ = bx + a = bx + y − bx (a = y − bx ) , 性相关关系,由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y
所以回归直线过样本点的中心( x , y ) ,利用回归方程可以预测估计总体,所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是 找不正确的答案,易错. 5. 已知双曲线 C :
8 (m>0), y = log 2 x 图像如下图, 2m + 1
8 − 8 2 m +1 ,得 x3 = 2 2 m +1 , x4 = 2 . 2m + 1
8 8 2 m +1 8 2 m+1
由 log 2 x = m,得 x1 = 2− m , x2 = 2 m , log 2 x =
依照题意得 a = 2
−m
−2
−
8 2 m +1
,b = 2 − 2
m
8 2 m+1
b , = a
2 −2 2− m − 2
m
−
8 2 m +1
= 2m 2
=2
m+
8 2 m +1
.
∵m +
8 1 4 1 1 1 b =m+ + − ≥ 4 − = 3 ,∴ ( ) min = 8 2 . 2m + 1 2 m+ 1 2 2 2 a 2
A
B
C
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思 想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意 AB, BC 的夹角为 ∠B 的外角.
��� � ��� �
8.已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 : y=
8 (m>0), l1 与函数 y = log 2 x 的图像从左至右相 2m + 1
��� � ��� �
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【答案】A
【解析】由下图知 AB i BC = AB BC cos(π − B ) = 2 × BC × ( − cos B ) = 1.
��� � ��� �
��� � ��� �
��� �
∴ cos B =
AB 2 + BC 2 − AC 2 1 .又由余弦定理知 cos B = ,解得 BC = 3 . −2 BC 2 AB ⋅ BC
【 解 析 】 f ( x ) =sinx-cos(x+
3 1 π π ) = sin x − cos x + sin x = 3 sin( x − ) , 6 2 2 6
π ∵ sin( x − ) ∈ [ −1,1] ,∴ f ( x ) 值域为[- 3 , 3 ]. 6
【点评】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(ω x + ϕ ) 的形式,利用 sin(ω x + ϕ ) ∈ [ −1,1] , 求得 f ( x ) 的值域. 7. 在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB i BC = 1 则 BC = ___ . A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23
【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值,转化为代数不等式(组). 11.如图 2,过点 P 的直线与圆 O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径等于 _______.