山东省 高三高考模拟卷(一)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位,若i z +=1,则(2)z z +⋅= A .42i - B .42i + C .24i + D .4 2.已知集合}6|{2--==x x y x A ,集合12{|log ,1}B x x a a ==>,则A .}03|{<≤-x xB .}02|{<≤-x xC .}03|{<<-x xD .}02|{<<-x x3.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其频率分布直方图如图所示:若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为 A .10 B .20 C .8 D .16 4.下列说法正确的是 A .函数xx f 1)(=在其定义域上是减函数 B .两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C .命题“R x ∈∃,220130x x ++>”的否定是“R x ∈∀,220130x x ++<” D .给定命题q p 、,若q p ∧是真命题,则p ⌝是假命题 5.将函数x x x f 2sin 2cos )(-=的图象向左平移8π个单位后得到函数)(x F 的图象,则下列说法中正确的是A .函数)(x F 是奇函数,最小值是2-B .函数)(x F 是偶函数,最小值是2-C .函数)(x F 是奇函数,最小值是2-D .函数)(x F 是偶函数,最小值是2-6.已知点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,1,,4x x y y x 过点P 的直线与圆1422=+y x 相交于A ,B 两点,则AB 的最小值为A .2B .62C .52D .47.一个几何体的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是A .π6B .π12C .π18D .π248.执行如图所示的程序框图,若输入5=p ,6=q ,则输出a ,i 的值分别为 A .5,1 B .30,3 C .15.3 D .30.69.若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的41,则该双曲线的渐近线方程是 A .02=±y x B .02=±y x C .03=±y x D .03=±y x 10.我们定义若函数)(x f 为D 上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间D 上的任何取值有意义;(2)对于区间D 上的任意n 个值n x x x ,,,21 ,总满足)()()()(2121n x x x nf x f x f x f n n +++≥+++ ,那么下列四个图象中在]2,0[π上满足凹函数定义的是11.若2013(2)x -220130122013a a x a x a x =++++,则02420121352013a a a a a a a a ++++=++++A .201320133131+-B .201320133131+--C .201220123131+-D .201220123131+--12.已知c b a ,,为互不相等的三个正实数,函数)(x f 可能满足如下性质:①)(a x f -为奇函数;②)(a x f +为奇函数;③)(b x f -为偶函数;④)(b x f +为偶函数;⑤()()f x c f c x +=-.类比函数2013sin y x =的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了如下结论:(i)若满足①②,则)(x f 的一个周期为4a ;(ii)若满足①③;则)(x f 的一个周期为||4b a -;(iii)若满足③④,则)(x f 的一个周期为||3b a -;(iv)若满足②⑤;则)(x f 的一个周期为||4c a +.其中正确结论的个数为( ). A .1 B .2 C .3 D .4第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题纸的相应位置.13.已知向量)3,2(=a ,)2,1(=b ,且b a ,满足)()(b a b a -⊥+λ,则实数=λ_______.14.对任意的实数R x ∈,不等式01||2≥++x a x 恒成立,则实数a 的取值范围是________.15.由直线02=-+y x ,曲线3x y =以及x 轴围成的封闭图形的面积为________. 16.如图放置的边长为2的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点),(y x P 的轨迹方程是)(x f y =,则)(x f y =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围成的区域的面积为______.三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤,把答案填写在答题纸的相应位置.17.(本小题满分12分)在△ABC 中,三个内角分别为A ,B ,C ,已知4π=A ,54cos =B . (1)求cosC 的值;(2)若BC=10,D 为AB 的中点,求CD 的长. 18.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF ,BC ⊥CF ,3=AD ,EF=2,BE=3,CF=4.(1)求证:EF ⊥平面DCE ;(2)当AB 的长为何值时,二面角C EF A --的平面角的大小为︒60. 19.(本小题满分12分) 为迎接 “两会”(全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日)的胜利召开,某机构举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题,问题A 有四个选项,问题B 有五个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题A 可获奖金m 元,正确回答问题B 可获奖金n 元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答错误,则该参与者猜奖活动中止.假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.20.(本小题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足332412++=n n S n ,数列*)}({log 3N n b n ∈为等差数列,且31=b ,273=b .(1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式; (2)若125-=n n a c ,n n n c b c b c b c b T ++++= 332211,求n T 的值. 21.(本小题满分13分)已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P(4,0),A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连接PB 交椭圆C 于另一点E ,证明:直线AE 与x 轴相交于定点Q ;(3)在(2)的条件下,设过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求ON OM ⋅的取值范围.22.(本小题满分13分)已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=)1(ln )1()(23x x a x c bx x x x f ,的图象过点)2,1(-,且在点))1(,1(--f 处的切线与直线-x 015=+y 垂直.(1)求实数c b ,的值;(2)求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数)上的最大值;(3)对任意给定的正实数a ,曲线)(x f y =上是否存在两点P ,Q ,使得△POQ 是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在y 轴上?山东省 高三高考模拟卷(一)数学(理科)参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】由i z +=1得z z ⋅+)1((3)(1)i i =+-=31342i i i +-+=-. 2.D 【解析】由题意得集合2|{-≤=x x A 或}3≥x ,故}32|{<<-=x x ,又集合}0|{<=x x B ,所以}02|{<<-=x x .3.B 【解析】该班学生视力在0.9以上的频率为4.02.0)25.075.01(=⨯++,故该班50名学生中能报A 专业的人数为20504.0=⨯.4.D 【解析】由减函数的定义易知xx f 1)(=在其定义域上不是减函数,A 错;两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件,B 错;命题“R x ∈∃,220130x x ++>”的否定是“R x ∈∀,220130x x ++≤”,C 错;由q p ∧是真命题可知p 和q 都是真命题,故p ⌝一定是假命题,D 正确,选D .5.C 【解析】由题易得)42cos(2)(π+=x x f ,将)(x f 的图象向左平移8π个单位后,得=++=]4)8(2cos[2)(ππx x F x x 2sin 2)22cos(2-=+=π的图象,易知)(x F 为奇函数,最小值为2-,故选C .6.D 【解析】当P 点同时满足(1)P 为AB 的中点;(2)P 点到D点的距离最大时,AB 取得最小值.P 点的可行域如图所示,因为直线x y =和直线+x 4=y 垂直,故P 点的坐标是(1,3)时,OP 最大.易知此时AB=4,故选D .7.B 【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台,其上,下底面的半径分别为2,1,其直观图如图所示.则该几何的侧面积⨯=2(πS π12)414=⨯+.8.D 【解析】执行程序框图可知,当1=i 时,15⨯=a ;当2=i 时,25⨯=a ;…;当6=i 时,65⨯=a ,即a 能被q 整除,退出循环,输出i a ,的值分别为30,6.9.C 【解析】由双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的对称性可取其一个焦点)0,(c 和一条渐近线x a b y =,则该点到该渐近线的距离为b ab c a b=+-⨯221|0|,而412=c b ,因此c b 21=,=-=22b c a c 23,所以33=a b ,因此双曲线的渐近线方程为03=±y x .10.A 【解析】要判断是不是凹函数,需要先明确凹函数的定义,由定义的第一点可以排除D ,在A 、B 、C 这三个选项中可以考虑特值法,取01=x ,22π=x ,则显然选项B 、C 不满足)2(2)()(2121x x f x f x f +>+,故选A . 11.B 【解析】令1=x 得01234520131a a a a a a a +++++++= ①,令1-=x 得201301234520133a a a a a a a -+-+-+-= ②,由①②联立,可得2012420a a a a ++++ 2013312+=,++31a a 52013a a ++2013132-=,从而02420121352013a a a a a a a a ++++++++20132013312132+=-201320133131+=--. 12.B 【解析】由2013sin y x =的图象知,两相邻对称中心的距离为2T两相邻对称轴的距离为2T ,对称中心与距其最近的对称轴的距离为4T,若满足①②,则)(x f 的两个相邻对称中心分别为)0,(a ,)0,(a -,从而有a a a T2)(2=--=,即a T 4=;若满足①③,则)(x f 的对称轴为b x =,与对称轴相邻的对称中心为)0.(a ,有||4b a T-=,即||4b a T -=;若满足③④,则)(x f 的两个相邻的对称轴为b x -=和b x =,从而有=--=)(2b b Tb 2,即b T 4=;若满足②⑤,则)(x f 的对称中心为)0,(a -,与其相邻的对称轴为c x =,从而有()4Tc a a c =-+=-,即=T 4||a c -.故只有(iii)(iv)错误.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题纸的相应位置.13.35-【解析】由)3,2(=a ,)2,1(=b ,得++=+3,2(λλb a )2λ,)1,1(=-b a ,因为)()(b a b a -⊥+λ,所以0)()(=-•+b a b a λ,即01)23(1)2(=⨯++⨯+λλ,解得35-=λ.14.),2[+∞-【解析】当0=x 时,R a ∈;当0=/x 时,原不等式变形可得)||1|(|x x a +-≥,因为2||1||≥+x x (当且仅当1||=x 时,等号成立),所以2)||1|(|-≤+-x x ,即)||1|(|x x +-的最大值是2-,所以2-≥a .15.43【解析】由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+302xy y x ,解得直线02=-+y x 和曲线3x y =的交点坐标是(1,1),结合图形可知,由直线02=-+y x ,曲线3x y =以及x 轴围成的封闭图形的面积为=-+⎰⎰dx x dx x )2(21103104|41x 212|)212(x x -+432141=+=. 16.44π+【解析】由于本题是求两个相邻零点问的图象与x 轴所围成的区域的面积,所以为了简便,可以直接将P 点移到原点,开始运动,如图所示,当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段相连的圆弧,它与x 轴围成的区域面积为2221112[22]244444ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+(. 三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤,把答案填写在答题纸的相应位置.17.【解析】(1)因为54cos =B ,且),0(π∈B ,=-=B B 2cos 1sin 53,则)cos(cos B A C --=π+=-=B B cos 43cos )43cos(ππB sin 43sin π10253225422-=⨯+⨯-=. (2)由(1)可得=∠-=∠ACB ACB 2cos 1sin 1027)102(12=--=. 由正弦定理得ACB ABA BC ∠=sin sin ,即10272210AB =,解得AB=14. 因为在△BCD 中,721==AB BD , ⋅⋅-+=BD BC BD BC CD 222237541072107cos 22=⨯⨯⨯-+=B , 所以37=CD . 18.【解析】(1)由题易知在△BCE 中,3==AD BC ,BE=3,所以3222=+=BE BC EC ,又在△FCE 中,==162CF 22CE EF +,所以 EF ⊥CE , 因为平面ABCD ⊥平面EFCB ,DC ⊥BC ,所以DC ⊥平面EFCB , 又EF ⊂平面EFCB ,所以DC ⊥EE , 又DC EC=C ,所以EF ⊥平面DCE .(2) 法一过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于点H ,连接AH . 由平面ABCD ⊥平面BEFC ,又平面ABCD 平面BEFC=BC ,AB ⊥BC ,所以AB ⊥平面BEFC ,从而AB ⊥EF ,又因为BH ⊥EF ,BH AB=B ,所以EF ⊥平面ABH . 又AH ⊂平面ABH ,所以EF ⊥AH ,所以∠AHB 为二面角C EF A --的平面角. 在Rt △CEF 中,因为EF=2,CF=4,所以∠CFE=︒60,因为BE ∥CF ,所以∠BEH=∠CFE=︒60. 又在Rt △BHE 中,BE=3,所以233233sin =⨯=∠⋅=BEH BE BH , 由二面角C EF A --的平面角的大小为︒60,得∠AHB=︒60,在Rt △ABH 中,解得293233tan =⨯=∠⋅=AHB BH AB . 所以当29=AB 时,二面角C EF A --的平面角的大小为︒60. (2)法二 由题知,平面ABCD ⊥平面BEFC ,又平面ABCD 平面BEFC=BC ,DC ⊥BC ,则DC ⊥平面BEFC .又CF ⊥BC ,则BC ,CD ,CF 两两垂直,以点C 为坐标原点,CB ,CF 和CD 所在直线分别作为x 轴,y 轴和z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -.设)0(>=a a AB ,则)0,0,0(C ,),0,3(a A ,)0,0,3(B ,)0,3,3(E ,)0,4,0(F , 从而)0,1,3(-=EF ,),3,0(a AE -=. 设平面AEF 的法向量为),,(z y x n =, 由0=⋅n EF ,=⋅n AE 0得,⎩⎨⎧=-=+-0303az y y x ,取1=x ,则3=y ,az 33=, 即平面AEF 的二个法向量为)33,3,1(an =. 不妨设平面EFCB 的法向量为),0,0(a BA =, 由条件,得|||||||,cos |BA n BA n =><21274332=+=a ,解得29=a .所以当29=AB 时,二面角C EF A --的平面角的大小为︒60. 19.【解析】该参与者随机猜对问题A 的概率411=P , 随机猜对问题B 的概率512=P .回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:①先回答问题A ,再回答问题B ,参与者获奖金额ξ的可能取值为n m m +,,0,则431)0(1=-==P P ξ, =⨯=-==5441)1()(21P P m P ξ51, 2015141)(21=⨯==+=P P n m P ξ. 数学期望204201)(51430nm n m m E +=⨯++⨯+⨯=ξ.②先回答问题B ,再回答问题A ,参与者获奖金额η的可能取值为n m n +,,0,则541)0(2=-==P P η, =⨯=-==4351)1()(12P P n P ξ203, 2014151)(12=⨯==+=P P n m P η. 数学期望520201)(203540nm n m n E +=⨯++⨯+⨯=η.2034)520()204(nm n m n m E E -=+-+=-ηξ. 于是,当43>n m 时,ηξE E >,即先回答问题A ,再回答问题B ,参与者获奖金额的期望值较大;当43=n m 时,ηξE E =,无论是先回答问题A ,再回答问题B ,还是先回答问题B ,再回答问题A ,参与者获奖金额的期望值相等;当43<n m 时,ηξE E <,即先回答问题B ,再回答问题A ,参与者获奖金额的期望值较大.20.【解析】(1)由题意得1247332411=++=a , 当2≥n 时,1--=n n n S S a ---++=22)1(4133241n n n 12523)1(32+=--n n , 又1247121112521=/=+,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+==.2,1252,1,1247n n n a n设等差数列}{log 3n b 的公差为d .由31=b ,273=b ,可得27log 3log )3(log 2333+=+d ,解得1=d .所以+=3log log 33n b n n =⨯-1)1(,所以nn b 3=. (2)由(1)得,当1=n 时,2712511=-=a c ,当2≥n 时,=n c 2n , 所以当1=n 时,221273111=⨯==c b T ; 当2≥n 时,n n n c b c b c b c b T ++++= 332211)33323(2122132n n ⨯++⨯+⨯+= . 记n Q n n ⨯++⨯+⨯=3332332 , ①n n Q n n n ⨯+-⨯++⨯+⨯=+1433)1(333233 ,②①-②得n Q n n n ⨯-+++⨯=-+132333232 --⨯+=-2)13(27182n n n ⨯+13, 故234273911n Q n n n ⨯+---=++, 则)2342739(2122111n T n n n ⨯+---⨯+=++)2(8753)12(1≥+⨯-=+n n n . 因为221875312=+⨯,所以=n T 8753)12(1+⨯-+n n . 21.【解析】(1)由题意知21==a c e ,所以41222222=-==a b a a c e ,即2234b a =. 又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆222b y x =+,与直线06=+-y x 相切,所以=b 3)1(1622=-+,所以42=a ,32=b ,故椭圆C 的方程为13422=+y x . (2)由题意知直线PB 的斜率存在且不为0,则直线PB 的方程为)4(-=x k y . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134),4(22y x x k y 得0126432)34(2222=-+-+k x k x k . ① 设点),(11y x B ,),(22y x E ,则),(11y x A -.由题意知直线AE 的斜率存在,则直线AE 的方程为)(212122x x x x y y y y -++=-. 令0=y ,得121222)(y y x x y x x +--=,将)4(11-=x k y ,-=22(x k y 4)代入整理得 8)(42212121-++-=x x x x x x x . ② 由①式利用根与系数的关系得34322221+=+k k x x ,=21x x 34126422+-k k , 代入②式整理得1=x .所以直线AE 与x 轴相交于定点Q(1,0).(3)当过点Q 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为)1(-=x m y ,),(M M y x M ,),(N N y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134),1(22y x x m y 得01248)34(2222=-+-+m x m x m , 易知0)1(144)124)(34(4)8(22222>+=-+--=∆m m m m , 由根与系数的关系知34822+=+m m x x N M ,3412422+-=m m x x N M ,则=N M y y 349]1)([)1()1(222+-=++-=-⋅-m m x x x x m x m x m N M N M N M , 则N M N M y y x x ON OM +=⋅)34(4334534125222+--=++-=m m m , 因为02≥m ,所以0)34(4334112<+-≤-m ,所以--≤-45445)34(4332-<+m , 所以)45,4[--∈⋅ON OM .当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时,其方程为1=x ,代入椭圆方程得23±=y ,不妨设)23,1(M ,)23,1(-N ,此时⋅OM 45-=ON . 综上所述,ON OM ⋅的取值范围是]45,4[--. 22.【解析】(1)当1<x 时,b x x x f ++-='23)(2, 由题意,得⎩⎨⎧-=-'=-,5)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧-=+--=+-,523,22b c b 解得0==c b . (2)由(1),知⎩⎨⎧≥<+-=),1(ln ),1()(23x x a x x x x f①当11<≤-x 时,)23()(--='x x x f ,由0)(>'x f ,得320<<x ;由0)(<'x f ,得01<≤-x 或132<<x .所以)(x f 在)0,1[-和)1,32(上单调递减,在)32,0(上单调递增.因为2)1(=-f ,274)32(=f ,0)0(=f ,所以)(x f 在)1,1[-上的最大值为2. ②当e x ≤≤1时,x a x f ln )(=,当0≤a 时,0)(≤x f ;当0>a 时,)(x f 在],1[e 上单调递增.所以)(x f 在],1[e 上的最大值为a .所以当2≥a 时,)(x f 在],1[e -上的最大值为a ;当2<a 时,)(x f 在],1[e -上的最大值为2.(3)假设曲线)(x f y =上存在两点P ,Q 满足题意,则P ,Q 只能在y 轴两侧, 因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,所以0=•OQ OP ,不妨设)0))((,(>t t f t P ,则由△POQ 斜边的中点在y 轴上知,(t Q -)23t t +,且1≠t .所以0))((232=++-t t t f t .(*) 是否存在两点P ,Q 满足题意等价于方程(*)是否有解.若10<<t ,则23)(t t t f +-=,代入方程(*),得++-+-3232)((t t t t 0)2=t , 即0124=+-t t ,而此方程无实数解;当1>t 时,则t a t f ln )(=,代入方程(*),得0)(ln 232=+•+-t t t a t ,即t t aln )1(1+=, 设)1(ln )1()(≥+=x x x x h ,则011ln )(>++='xx x h 在),1[+∞上恒成立, 所以)(x h 在),1[+∞上单调递增,从而0)1()(=≥h x h ,即)(x h 的值域为),0[+∞. 因为1>t ,所以t t t h ln )1()(+=的值域为),0(+∞,所以当0>a 时,方程t t aln )1(1+=有解,即方程(*)有解. 所以对任意给定的正实数a ,曲线)(x f y =上总存在两点P ,Q ,使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在y 轴上.。