3 8
< U (1) =
1 2
> U (3) = −1.5。U (c) 不具有
1 不满足性。当 a = 0 时，U (c) = c 具有不满足性；当 a > 0 时，当 c ∈ [0, a ] 时 U (c)
3 (d) 假设这个市场中总共有 K 个参与者。每个参与者的禀赋是 1 单位的证券 1 和 2 单位的证券 2。这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？市场组 合的总价值是多少？ (e) 写出市场化支付的集合。 (f) 如果市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么？ (g) 现在引入新的证券 3，它的支付向量为 X3 = [0; 0; 1]。写出新的市场结构矩 阵。在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？ 解. (a) 这个经济的支付空间是 R3 ； 1 1 (b) 市场结构矩阵为 X = 1 2 = [X1 , X2 ]； 1 3 (c) 组合的支付向量为 θ1 X1 + θ2 X2 = [θ1 + θ2 ; θ1 + 2θ2 ; θ1 + 3θ2 ]，组合的价格是 θ 1 S 1 + θ 2 S2 ； (d) 市 场 组 合 是 K 单 位 的 证 券 1 和 2K 单 位 的 证 券 2， 组 合 的 支 付 向 量 为 [3K ; 5K ; 7K ]，组合的总价值是 KS1 + 2KS2 ； (e) 市场化的支付集合是 M = {Y ∈ R2 : Y = θ1 X1 + θ2 X2 , θ1 , θ2 ∈ R}； (f) 这时的市场化支付集合是 M+ = {Y ∈ R2 : Y = θ1 X1 + θ2 X2 , θ1 , θ2 ∈ R+ }； 1 1 0 (g) 新的市场结构矩阵为 X = 1 2 0 = [X1 , X2 , X3 ]，此时的市场化支付集 1 3 1 3 合为 M = {Y ∈ R : Y = θ1 X1 + θ2 X2 + θ3 X3 , θ1 , θ2 , θ3 ∈ R}。 2.5 在练习 2.4 中定义的只存在证券 1 和 2 的经济中。考虑一个禀赋为 θ1 单位的证券 1 和 θ2 单位的证券 2 的参与者。写出他的预算集。 解. 参与者的预算集是 {C ∈ R3 + : C = α1 X1 + α2 X2 , 其中 α1 S1 + α2 S2 ≤ θ1 S1 + θ 2 S 2 }。 2.6 在上面的练习中引入练习 2.4 中定义的证券 3，它的价格为 S3 。这时，参与者的预 算集是什么（他在证券 3 上的禀赋为 0）？证明由证券 1、2、3 构成的预算集包含 仅由证券 1、2 构成的预算集。 解. 此时参与者的预算集就变成了 {C ∈ R3 + : C = α1 X1 + α2 X2 + α3 X3 , 其中 α1 S1 + α2 S2 + α3 S3 ≤ θ1 S1 + θ2 S2 + θ3 S3 }。 2.7* 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济。（在这种情况下不存在不确定性。）参 与者 1 的 0 期禀赋为 100 而 1 期禀赋为 1，即他的禀赋向量为 [100; 1]。他的偏好可 金融经济学 c 王江
金融经济学习题解答
王江
（初稿，待修改。未经作者许可请勿传阅、拷贝、转载和篡改。) 2006 年 8 月
第2章 基本框架
2.1 U (c) 和 V (c) 是两个效用函数，c ∈ Rn + ，且 V (x) = f (U (x))，其中 f (·) 是一正单调 函数。证明这两个效用函数表示了相同的偏好。 解. 假设 U (c) 表示的偏好关系为 U (c1 ) ≥ U (c2 ) ⇔ c1 c2 ，那么 ∀ c1 , c2 ∈ RN + 有
于 δ ，∃ N 使得当 n ≥ N 时， c(n) − c = (c0 − c0 )2 + (c1a − c1a )2 + (c1b − c1b )2 < δ
(n) (n) (n)
因而 | U (c(n) ) − U (c) |< ε，故 limc(n) →c U (c(n) ) = U (c)。 (c) 最后证明凸性。假设 U (C ) > U (C )，那么 log(c0 ) + 1 1 1 1 log(c1a ) + log(c1b ) > log(c0 ) + log(c1a ) + log(c1b ) 2 2 2 2
而 f (·) 是正单调函数，因而 V (c1 ) = f (U (c1 )) ≥ f (U (c2 )) = V (c2 ) ⇔ U (c1 ) ≥ U (c2 ) 因此 V (c1 ) ≥ V (c2 ) ⇔ c1 c2 ，即 V (c) 表示的偏好也是 。
2.2* 在 1 期，经济有两个可能状态 a 和 b，它们的发生概率相等： a b 考虑定义在消费计划 c = [c0 ; c1a ; c1b ] 上的效用函数：
对于 ∀ α ∈ (0, 1)， U (αC + (1 − α)C ) 1 1 log(αc1a + (1 − α)c1a ) + log(αc1b + (1 − α)c1b ) 2 2 1 1 1 1 ≥ α(log(c0 ) + log(c1a ) + log(c1b )) + (1 − α)(log(c0 ) + log(c1a ) + log(c1b )) 2 2 2 2 = αU (C ) + (1 − α)U (C ) > U (C ) = log(αc0 + (1 − α)c0 ) + 故凸性成立。 2.3 U (c) = c − 1 a c2 是一可能的效用函数，其中 c ∈ R+ ，a 是非负的系数。U (c) 具有不 2 满足性吗？如果不，那么 a 取什么值和/或 c 在什么范围内时 U (c) 具有不满足性？ 解. 不一定。比如当 a = 1 时，U ( 1 2) = 具有不满足性。 2.4 考虑一个经济，它在 1 期有三个可能状态：a，b 和 c： a b c 证券市场包括证券 1 和 2，它们具有如下的支付向量：X1 = [1; 1; 1] 以及 X2 = [1; 2; 3]。它们的价格分别为 S1 和 S2 。 (a) 描述这个经济的支付空间。 (b) 写出这个经济的市场结构矩阵 X 。 (c) 考虑含有 θ1 单位的证券 1 和 θ2 单位的证券 2 的组合。写出这个组合的支付向 量。这个组合的价格是多少？ c 王江 金融经济学
1 U (c) = log c0 + 2 (log c1a + log c1b )
U (c) =
1 1−γ c 1− γ 0
+
1 2
1 2
1 1− γ c 1− γ 1a
+
1 1− γ பைடு நூலகம் 1− γ 1b
U (c) = −e−ac0 −
e−ac0 + e−ac0
证明它们满足：不满足性、连续性和凸性。 解. 在这里只证明第一个效用函数，可以类似地证明第二、第三个效用函数的性 质。 (a) 先证明不满足性。假设 c ≥ c ，那么有 c0 ≥ c0 , c1a ≥ c1a , c1b ≥ c1b 而 log(·) 是单调增函数，因此有 log(c0 ) ≥ log(c0 ), log(c1a ) ≥ log(c1a ), log(c1b ) ≥ log(c1b ) 因而 U (c) ≥ U (c )，即 c c。
2
第 2 章 基本框架
3 (n) = c。对于 (b) 现在证明连续性。令 {c(n) }∞ 1 为 R 中一个序列，且 limn→∞ c ε ∀ ε > 0, ∃ δ ，当 | ci − ci |≤ δ 时我们有 | log(ci ) − log(ci ) |< 3 , i = 0, 1a, 1b；对