函数及其性质专题A 组题1. 已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A【解析】()()113333xx x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.2.函数33()11f x x x =++-，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ）A ．(,())a f a --B ．(,())a f a -C ．(,())a f a -D ．(,())a f a --- 【解析】可验证函数()f x 满足()()f x f x -=，()f x 是偶函数，故选B . 3.已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩≤，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为[)1,-+∞【解析】当0x ≤时，()cos [1,1]f x x =∈-，当0x >时，),1(1)(2+∞∈+=x x f ，故选.D 4.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是（ ）A ．增函数且最小值是-5B ．增函数且最大值是-5C ．减函数且最大值是-5D ．减函数且最小值是-5【解析】奇函数图像关于原点对称，故由题()f x 在[7,3]--上递增，故在[7,3]--上， min ()(7)(7)5f x f f =-=-=-，故选.A5.若函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2f f ==，则(3)(4)f f -=( ) A.1- B.1 C. 2- D. 2【解析】因为函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，所以(3)(4)(2)(1)(1)f(2) 1.f f f f f -=---=-=-故选.A 6.函数f (x )＝lg|sin x |是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数【解析】当,x k k Z π≠∈时，()()f x f x -=且()lg |sin()|lg |sin |()f x x x f x ππ+=+==，故选.C7. 已知函数f (x )恒满足()(2)f x f x =-，且当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f 1()2- ，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【解析】()(2)f x f x =-()f x ⇒图象关于直线1x =对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立说明()f x 在(1,)+∞上单减，故51()()()(2)22f e f f f <=-<，故选.D8. 设函数()10{ 20x x x f x x +≤=>，，，，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是__________。

【答案】(-14， ∞+ ) 【解析】由题意得： 当12x >时， 12221x x-+>恒成立，即12x >；当102x <≤时， 12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时， 1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤.综上，x 的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.9.若函数2()(36)logaf x ax a x =-+-在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 .【解析】设236u x ax a =-+-，因为外函数log a y u =是单调函数，故内函数236u x ax a =-+-在[2,)+∞上单增，应有122(2)20a a u a >⎧⎪⎪≤⎨⎪=->⎪⎩，解得24a <≤.空填24a <≤.10.设函数))((R x x f ∈满足x x f x f sin )()(+=+π，当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf . 【解析】由题(2)()sin()()sin sin()()f x f x x f x x x f x ππππ+=+++=+++=，故 =)623(πf 23(4)6f ππ-511()()sin()0.66622f f πππ=-=--=+=11.二次函数()y f x =的图象与函数21y x =-的图象关于点(1,0)成中心对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数,m n ，满足()f x 定义域为[,]m n 时，值域亦为[,]m n ，若存在，求出,m n 的值；若不存在， 说明理由.【解析】（1）设(,())A x f x ，则点A 关于点(1,0)的对称点(2,())x f x --在函数21y x =-图象上， 故2()(2)1f x x -=--，得2()43f x x x =-+-.（2）2()(2)11f x x =--+≤，假设存在满足条件的,m n ，则1n ≤，则()f x 在[,]m n 上单调递增，所以22()43()43f m m m m f n n n n m n ⎧=-+-=⎪=-+-=⎨⎪<⎩，解知,m n 不存在.B 组题1.（2016海南中学考前模拟）已知函数()f x 关于直线2x =-对称，且周期为2，当[3,2]x ∈--时，2()(2)f x x =+，则5()2f =（ ）A ．0B ．14C ．116 D ．1 【解析】由题意可得5135()()()()2222f f f f ==-=-251(2)24=-+=，故选B.2.【2016山东滨州二模】若函数x xe aex f -=-)(为奇函数，则()11f x e e-<-的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()0,+∞【解析】由于函数()f x 为R 上奇函数，所以()001f a =⇒=，所以()1xx f x e e =-，由于x e 为增函数，而1xe 为减函数，所以()1x xf x e e =-是减函数，又因为()11f e e -=-，由()11f x e e-<-可得()()11f x f -<-，从而110x x ->-⇒>，故选.D3．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或C ．{}|33x x x <->或D ．{}|3003x x x -<<<<或【解析】()f x 是奇函数，(3)(3)0f f =--=，且()f x 在(,0)-∞上单增，对于不等式()0xf x <， 当(0,3)x ∈时，()0f x <，满足；当(3,)x ∈+∞时，()0f x >，不满足.当.(3,0)x ∈-时，()0f x >，满足；当(,3)x ∈-∞-时，()0f x <，不满足.故选.D 4. 已知()f x 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若(1)1f <，23(5)1a f a -=+，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1，4) B ．(－2，0) C ．(－1，0) D ．(－1，2) 【解析】因为()f x 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，23(5)(1)(1)11a f f f a -=-==<+，解得选项.A 5.已知函数)(x f 定义域为R ，且不恒为零，若函数)1(+x f 的图象关于)0,1(对称，函数)3(+x f 的图象关于直线1=x 对称，则下列式子中错误的是（ ）A.)()(x f x f =-B.)6()2(+=-x f x fC.0)2()2(=--++-x f x fD.0)3()3(=-++x f x f 【解析】)1(+x f 的图象关于)0,1(对称()f x ⇒关于(2,0)对称()(4)f x f x ⇒=--；)3(+x f 的图象关于直线1=x 对称()f x ⇒图象关于直线4x =对称⇒()(8)f x f x =-所以(8)(4)f x f x -=--()f x ⇒的周期8T =，且()f x 的所有对称轴为：4,x n n Z =∈，所有对称中心为(42,0)()n n Z +∈，故选.D6.【2016辽宁抚顺一中四模】已知函数)(x f 满足)1()(xf x f =，且当]1,1[π∈x 时，x x f ln )(=，若当],1[ππ∈x 时，函数ax x f x g -=)()(与x 轴有交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln [,0]ππ-B ．[ln ,0]ππ-C ．1ln (,]e ππ-D ．1(,]2e π-- 【解析】由对数的性质，及)1()(xf x f =知当],1[π∈x 时，x x f ln )(-=．11()ln ln f πππ==-，ln ln 1OA πk πππ-==-，方程ax x f x g -=)()(与x 轴有交点，则0)(=-ax x f 有解，即函数],1[),(ππ∈=x x f y 的图象与直线ax y =有交点，作出函数],1[),(ππ∈=x x f y 的图象与直线ax y =，如图，由图象知]0,ln [ππ-∈a ．7.已知函数)9lg()1(x x f -=-，则=)(x f .1t =，2(1)x t =+，因为09x ≤<，所以[1,2)t ∈-2()lg[9(1)]f t t =-+2lg(28)t t =--+，故此空填2()lg(28),[1,2)f x x x x =--+∈- 8.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是.【解析】由题示意图象，可知()f x 恒增，故22a a ->，解得21a -<<.9.设函数1()2ln1xf x x -=++，若()4f a =，则()f a -= . 【解析】设1()ln 1xg x x -=+，111()ln ln()()11x x g x g x x x-+--===--+，故()2()2()2[()2]0.f a g a g a f a -=+-=-=--=故填0.10.设2()(,)f x x bx c b c R =++∈，若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在(2,3]上的最大值为1. （1）求(3)f 的值；（2）若2()f x x bx c =++不存在零点，求b 的取值范围，并求22b c +的最大值；（3）若2()f x x bx c =++存在零点，求b 值.【解析】（1）2()f x x bx c =++在(2,3]上的最大值为1(3)1f ⇒=， 且(2)24(3)39f b c f b c =++≤=++，故5b ≥-.（2）(3)1c 3b 8f =⇒=--，又2()f x x bx c =++不存在零点，则22412320b c b b ∆=-=++< 解得84b -<<-，又由（1）知5b ≥-，所以b 的取值范围为[5,4)--则222104864b c b b +=++，由[5,4)b ∈--，当5b =-时，22b c +的最大值为74. （3）若2()f x x bx c =++存在零点，则22412320b c b b ∆=-=++≥，8b ≤-或4b ≥- 又因为5b ≥-，所以4b ≥-，则()f x 对称轴22bx =-≤，又因为2x ≥时，()0f x ≥，所以 (2)2440f b c b =++=--≥，得4b ≤-，所以 4.b =-C 组题1.设函数()f x x x a =-，若对[)12,3,x x ∀∈+∞， 12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],3-∞-B.[)3,0-C.(],3-∞D.(]0,3【解析】由题意分析可知条件等价于()f x 在[)3,+∞上单调递增，又()f x x x a =-，∴当0a ≤时，结论显然成立，当0a >时，则,,,)(22⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=ax ax x a x ax x x f ，()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在(),a +∞上单调递增，∴03a <≤，综上，实数a 的取值范围是(],3-∞.2.已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3,4N =，定义映射:f M N →，则从中任取一个映射满足由点()()()()()()1,1,2,2,C 3,3A f B f f 构成ABC ∆且AB BC =的概率为( )A.332B.532 C.316D.14【解析】映射:f M N →满足由点()()()()()()1,1,2,2,3,3A f B f C f 构成ABC ∆，又因为若()11f =时，()1,1A 可构成44214⨯-=个三角形，()12f =时，()1,2A 可构成44214⨯-=个三角形，若()13f =时， ()1,1A 可构成44214⨯-=个三角形，若()14f =时，()1,1A 可构成44214⨯-=个三角形，共计56个，其中等腰三角形12个，映射:f M N →共有44464⨯⨯=个，构成ABC ∆且AB BC =的概率123=6416，3.函数2sin 6241x x x y π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-的图象大致为（ ）【解析】()2sin 62cos 624141x xx x x x y f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭===--，()()()2cos 62cos 64114x x x x x x f x f x ----===---是奇函数，排除A ，又在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x >，排除B ，当x →∞时，()0f x →，排除C ，故选.D 4.已知函数22()2(2)f x a x a x=-++，22()2(2)8g x x a x a =-+--+，设1()max{(),()}H x f x g x =，2()min{(),()}H x f x g x =，（max{,}p q 、min{,}p q 分别表示,p q 中的较大者及 较小者，记1min 2max (),()H x A H x B ==，则A B -=（ ）A.2216a a --B.2216a a +- C.-16 D.16【解析】令()()f x g x =得，2x a =±，则()f x 与()g x 图象交于(2,124)a a --，(2,44)a a +--， 示意图象可知：44A a =--，124B a =-，所以16.A B -=-故选.C5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()f x ＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若x ∀∈R ，()1f x -≤()f x ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11[,]66- B．[ C ．11[,]33- D．[ 【解析】画出()f x 图象，由x ∀∈R ，()1f x -≤()f x ，即()f x 图象向右平移1个单位后的图象总在()f x 图象下方， 故261a ≤，故选.B6.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212x x x x ≠、都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图像关于()1,0成中心对称，若s ，t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--．则当41≤≤s 时，2t ss t-+的取值范围是( ) A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】由()1y f x =-的图像相当于()f x 的图像向右平移了一个单位；又由()1y f x =-的图像关于()1,0中心对称，知()f x 的图像关于()0,0中心对称，即()f x 为奇函数，得()()2222f s s f t t -≤--，从而2222t t s s -≤-，化简得()()20t s t s -+-≤，又14s ≤≤，故2s t s -≤≤，从而211t s s -≤≤，而211,12s ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故1,12t s ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又2215,21tt s s t s t s--⎡⎤=∈--⎢⎥+⎣⎦+，故选.D7.【2016四川绵阳三诊】已知函数⎩⎨⎧<-+≥--=,0,||,0|,|)(x a a x x a x a x f 其中常数0>a ，给出下列结论：①)(x f 是R 上的奇函数；②当4a ≥时，()()2f x a f x -≥对任意x R ∈恒成立； ③()f x 的图象关于x a =和x a =-对称；④若对()()12,2,,1x x ∀∈-∞-∃∈-∞-，使得()()121f x f x =，则1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 其中正确的结论是 ．（请填上你认为所有正确结论的序号）【解析】因为⎩⎨⎧<-+≥--=,0,||,0|,|)(x a a x x a x a x f 所以⎪⎩⎪⎨⎧-≤--<<-≥-=.,2,,,,2)(a x x a a x a x a x x a x f 其图象如下图所示，由于图象关于原点对称，故①正确；因为4≥a 时，a a 42≥，故可得)(2a x f y -=的图象是由)(x f y =向右平移2a 个单位，故②正确；观察图可知③错误；对于④当2-≤-a ，即2≥a 时，),[)(),,[)(21+∞-∈+∞-∈a x f a x f ，故当)(1x f 从负方向接近于0时，)(2x f 不满足题意，当12-<-<-a ，即21<<a 时，),()(),,22()(21+∞-∈+∞-∈a x f a x f ，同上可知不满足题意，当1->-a ，即1<a 时，),22()(1+∞-∈a x f ，),21()(2+∞-∈a x f ，要使得和+∞→)(1x f 时相对应时，需满足021≤-a ，即21≥a ，故④错误．故此空填①②.8.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+-=)1()1(4)13()(log x x x a x a x f a在定义域R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是.【解析】0,1a a >≠，若()f x 在R 上单调，（1）()f x 为增，则1310710a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，无解；（2）()f x 为减，则01310071a a a <<⎧⎪-<⎨⎪≤-⎩，解得1173a ≤<，由题11(0,)[,1)(1,)73a ∈+∞9.已知()1212,x x x x <是方程()24410,x kx k R --=∈的两个不等实根，函数()221x kf x x -=+的定义域为[]12,x x ，()()()max min g k f x f x =-，若对任意k R ∈，恒有()g k ≤a 的取值范围是 .【解析】()1212,x x x x <是方程()24410,x kx k R --=∈的两个不等实根，结合图像可知，当[]12,x x x ∈时，24410x kx --≤，所以2'22222()0(1)x kx f x x -++=>+在[]12,x x 恒成立，故函数()f x 在定义域内是增函数，所以()()()()()21max min =g k f x f x f x f x =--2122212211x k x kx x --=-++①，又因为()1212,x x x x <是方程()24410,x kx k R --=∈的两个不等实根，则12121,4x x k x x +==-，代入①化简得：2516)4016(1)(222+++=kk k k g ，由对任意的(),k R g k ∈≤成立，得：222164015116251625k a k k +≥=+++，结合20k ≥，得38155a ≥+=，故实数a 的取值范围是8,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.10. 0a >，函数()2x af x x a-=+，记()f x 在区间[0,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式.【解析】0a >时，,02()2,2a xx a x a x af x x ax a x ax a-⎧≤≤⎪-⎪+==⎨-+⎪>⎪+⎩（1）若4a ≥，(),[0,4]2a x f x x x a -=∈+，()f x 单调递减，则1()(0)2g a f ==； （2）若04a <<，,02(),42a xx a x af x x a a x x a-⎧≤≤⎪⎪+=⎨-⎪<≤⎪+⎩，可判断()f x 在[0,)a 上递减，在(,4]a 上递增，则()max{(0),(4)}g a f f =（选大），141(0)(4)2422a a f f a a ---=-=++，所以1,142()4,0a142ag aaa⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩综上所述：1,12()4,0142ag aaaa⎧≥⎪⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩.。