第3章 线性方程组 第4章 矩阵的特征值及二次型一、单项选择题1 用消元法得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-+20142332321x x x x x x 的解123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为（C ） A []102'- B []722'-- C[]1122'-- D []1122'---2 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++43362323231321x x x x x x x （B ）A 有无穷多解B 有唯一解C 无解D 只有零解注：经初等行变换，有()()3r A r A B ==M ,线性方程组有唯一解.3 向量组101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得秩为（A ） A 3 B 2 C 4 D 54 设向量组为11100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，20011α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，31010α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，41111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（B ）是极大无关组。

A 21,ααB 321,,αααC 421,,αααD 1α 注：1011101110111011100100100010011101110111011100100101001000000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦极大无关组为：321,,ααα或431,,ααα.5 A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则（A ）A )A A 秩（）秩（= B )A (A)秩秩（＜ C )A ((A)秩秩＞ D 1)A ((A)-=秩秩6 若某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解，则该线性方程组（A ）A 可能无解B 有唯一解C 有无穷多解D 无解注：若线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明：系数矩阵的秩等于未知量的个数，至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等不得而知。

例1231231112x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪++=⎩与1231231113x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪++=⎩7 以下结论正确的是（D ）A 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D 齐次线性方程组一定有解（至少有零解，所以正确）8 若向量组s ααα⋯,,21线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出。

A 至少有一个向量B 没有一个向量C 至多有一个向量D 任何一个向量160P 定理3.69设A,B 为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的属于λ的特征向量，则结论（A ）成立。

A 2λ是AB 的特征值 B λ是B A +的特征值 C λ是B A -的特征值 D 的特征向量的属于是λB A +x 注：由已知得，AX X λ=，BX X λ=，从而()()()2ABX A BX A X AX X λλλ==== 选A()()2A B X AX BX X λ+=+= B 和 D 不正确10 设A,B,P 为n 阶矩阵，若等式（C ）成立，则称A 和B 相似。

A BA AB = B ()AB AB '=C B PAP =-1D PAP B '=230P 定义4.2二、填空题1 当=λ1时，齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λ有非零解.注：1101λ=2 向量组()0,0,01=α，()1,1,12=α 线性相关.注：157p 第五行：包含零向量的向量组一定是线性相关的. 3 向量组()3,2,1，()0,2,1，()0,0,1，()0,0,0得秩是3.4 设齐次线性方程组0332211=++x x x ααα的系数行列式0321=ααα，则这个方程组有非零解，且系数列向量321,,ααα是线性相关的.5 向量组()()()0,0,1,0,0,1321===ααα的极大线性无关组是21,αα.6 向量组s ααα⋯,,21的秩与矩阵()s ααα⋯,,21的秩相等. 注：169P 定理3.97 设线性方程组0=AX 中有5个未知量，且秩(A)=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2个.8 设线性方程组b AX =有解，0X 是它的一个特解，且0=AX 的基础解系为21,X X ，则b AX =的通解为：22110X K X K X ++（21,K K 为任意常数）. 9 若λ是A 的特征值，则λ是方程0=-A I λ的根. 注：220P （3）10 若矩阵A 满足A 为方阵且A A I '=，则称A 为正交矩阵. 注：240P 定义4.5 三、解答题1 用消元法解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+--=++=++=234124205836234321432143214321x x x x x x －x x －x x x －x －x x －x －x 解：将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯阵： 132163815021411214132---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦→132160178180581001348---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦→132160134805810017818---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦→13216013480023214000101226---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦ →10111330013480023214000101226--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦→101113300134833990005561300155--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦→171005521010556130015500013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→10002010010010100013⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦于是知21=x ，12-=x ，13=x ，34-=x ，为唯一解.2 设有线性方程组21111111x y z λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，λ为何值时，方程组有唯一解？或有无穷多解？解：方法一：①当0111111≠λλλ时，有3)()(==A r A r ，方程组有唯一解，于是有()()λλλλλλλλλλλλλλ110101112111111121212112111111-+=+=+++=()()()()()()011211111222≠--+=--+=+λλλλλλ于是当1≠λ且2-≠λ时，方程有唯一解。

②当1=λ时，有111111111111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦→111100000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，有31)()(＜A r A r ==，知有无穷多解.当2-=λ时，有2111A 12121124-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→112412122111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→112403360339-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→112403360003-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦由)()(,3)(,2)(A r A r A r A r ≠==，方程组无解. 于是，当1=λ时，方程组有无穷多解.方法二：21111111λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21111111λλλλλ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦2223110110111λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦22223110110021λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥--+--⎣⎦()()()()()()22110111002111λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥→-----⎢⎥⎢⎥-+---+⎢⎥⎣⎦于是当2-=λ时，)()(,3)(,2)(A r A r A r A r ≠==，方程组无解. 当1=λ时，方程组有无穷多解.当1≠λ且2-≠λ时，方程有唯一解。

3 判断向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，若能，写出一种表出方式.其中：83710β-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，12713α-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，23502α⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，35631α-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 解：若β能由向量组321,,ααα线性表示，有 βααα=++332211x x x写作线性方程组即为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=++-=---=-+-10123730136578532321321321321x x x x x x x x x x x x ， 于是有23587563103732110A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→10377563235832110⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦→ 1037052752031602831⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ →1037006217701725002281⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→1037017250062177002281⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→103701725177001625640031⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→1000010000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()r A r A ≠，所以β不能由321,,ααα线性表出.4 计算下列向量组的秩，并且判断该向量组是否线性相关？111234α⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2378913α⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，313033α-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，419636α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：由矩阵（以4321,,,αααα为列）进行初等行变换，有131117392806393341336-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦131104410022400000112-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→13110225011200000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→131100090112000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→13100110000100000000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组4321,,,αααα的秩为3，由于43),,,(4321＜r =αααα，所以向量组线性相关. 5 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+--=+-+-=-+-0453052110325023421432143214321x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系. 解：将系数矩阵进行初等行变换，有13125123111253504--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦→13120143701437014310--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦→13120143700030000--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→1310014300001000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→5100143010140001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+00143014543231x x x x x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x ，令31x =，得51431410x ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦化简，令[]53140Y '=-，则{}Y 为齐次线性方程组的一个基础解系.6 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++=----=+-+-=-+-16351749524311325432142143214321x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解. 解：将增广矩阵进行初等行变换，有 1523113142519041753611--⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦→1523110142728014272802841456--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→15231111012720000000000--⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→91117211012720000000000⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦令0,143==x x ，得相应的解向量，1911077X '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 令1,043==x x ，得相应的解向量，2110122X '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦令0,043==x x ，得相应的特解，[]01200X '=- 于是线性方程组的全部解为：01122X K X K X ++ （其中21,K K 为任意常数）. 7 试证：任一4维向量()4321,,a a a a =β都可由向量组 11000α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，21100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，31110α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，41111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦线性表出，且表出方式唯一，写出这种表出方式. 证：由已知β可由4321,,,αααα线性表示，有βαααα=+++44332211x x x x写作线性方程组，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++44321343212432114321000000a x x x x a x x x x a x x x x a x x x x 因为系数行列式111101111000110001A ==≠所以由克拉默法则，线性方程组有唯一解又因为12341111011100110001a a A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦→12233441000010000100001a a a a a a a -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以()()()44343232121ααααβa a a a a a a +-+-+-=.且表出方式唯一。