第二章圆锥曲线与方程单元测试卷一、选择题：1．双曲线2214x y -=的实轴长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．122．抛物线22y x =的准线方程为（ ）A ．14y =-B ．18y =-C ．12x =D ．14x =-3．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．84．抛物线214x y =的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．18 D ．125．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）C.4D.106．若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则实数a 等于（ ）A.2 C.32D.1 7．曲线221259x y +=与曲线()2219259x y k k k+=<--的（ ） A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点,A B 在C 上且关于x 轴对称，点,M N 分别为,AF BF 的中点，且AN BM ⊥，则AB =（ ）A ．B ．C ．8或8 D ．12+或129．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程是（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -= C ．22134x y -=D ．22143x y -= 10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）B.3 D.9211．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)412．已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为ab的值为（ ）A ．27-B ．2-C ．2-D ．3- 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横一上.13．若双曲线11622=-mx y 的离心率2=e ，则=m ________.14．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________.15．已知椭圆C ：2213x y +=，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且AB =，则直线l 的方程为___________.16．已知抛物线x y 42=，过其焦点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，M 为抛物线的准线与x 轴的交点，34tan =∠AMB ，则=AB _____. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知:p 方程22192x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，:q 双曲线2215x y m -=的离心率2e ⎛∈ ⎝. （1）若椭圆22192x y m m +=-的焦点和双曲线2215x y m-=的顶点重合，数m 的值； （2）若“p q ∧”是真命题，数m 的取值围．18．（本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A B ,两点. (1)求弦AB 的长度；(2)若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标.19．(本小题满分12分)设双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=交于两个不同的点,A B ，求双曲线C 的离心率e的取值围.20．（本小题满分12分）已知抛物线()220y px p =>上的点()3,T t 到焦点F 的距离为4． （1）求t ，p 的值；（2）设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．21．（本小题满分12分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点为)3,0F，实轴长为2，经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且M 为AB 的中点． （1）求双曲线C 的方程； （2）求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率2e =，焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 与直线0x y m -+=相交于不同的两点,M N ，且线段MN 的中点不在圆221x y +=，数m 的取值围．第二章圆锥曲线与方程单元测试卷 参考答案及解析1. 【答案】B 【解析】由双曲线方程可知24,2,24a a a =∴=∴=，所以实轴长为4.2. 【答案】B 【解析】22y x =，则212x y =，则抛物线开口向上，且112,24p p ==，可得准线方程为18y =-. 3. 【答案】D 【解析】将椭圆的方程转化为标准形式为221=，显然2106m m m ->-⇒>且2222-=，解得8m =．4. 【答案】C 【解析】抛物线214x y =的焦点到准线的距离为p ，而112,48p p =⇒=因此选C. 5. 【答案】C 【解析】根据题意可知249312a -=+=，结合0a >的条件，可知4a =，故选C.6. 【答案】B 【解析】∵2c e a ==，∴2c a =，又2239b ==，222c a b =+，∴2249,a a a =+=7. 【答案】C 【解析】曲线221259x y +=表示的椭圆焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8．曲线()2219259x y k k k+=<--表示的椭圆焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为8．故选C ．8. 【答案】D 【解析】设)2,(),2,(t t B t t A -,则),21(),,21(t t N t t M -++,所以1(,2tAN -=-，1(2tBM -=，依据AN BM ⊥可得09)21(2=--t t ,可得310±=t ,故||AB=12=9. 【答案】D 【解析】双曲线的一条渐近线是b y x a =，2b a=①，抛物线2y =的准线是x =因此c =2227a b c +==②，由①②联立解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22143x y -=．故选D ． 10. 【答案】A 【解析】由题意，设P 在抛物线准线的投影为P '，抛物线的焦点为F ，则1(,0)2F ，根据抛物线的定义可知点P 到该抛物线的准线的距离为PP PF '=,则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d PF PA AF =+≥==，故选A.11. 【答案】A 【解析】设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而四边形1AF BF 是平行四边形，所以1BF BF AF +=4BF +=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，则12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤02c a <≤． 12. 【答案】B 【解析】双曲线221ax by +=的渐近线方程可表示为220ax by +=，由221,0,y x ax by =-⎧⎨+=⎩得()220a b x bx b +-+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x +2b a b =+，则122a y y a b+=+，所以过原点和线段AB中点的直线的斜率为1212121222y y y y a k x x x x b ++====++，故选B ． 13. 【答案】48【解析】依题意离心率24e ==，解得48m =. 14. 【答案】212y x = 【解析】设点(,)M x y ，设M 与直线:3l x =-的切点为N ，则MA MN =，即动点M 到定点A 和定直线:3l x =-的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线，且以(3,0)A 为焦点，以直线:3l x =-为准线，所以6p =，所以动圆圆心的轨迹方程为212y x =. 15. 【答案】 1.y x =±【解析】设直线方程为y x b =+2246330x bx b ++-=， 21212633,b b x x x x -∴+=-=，121AB x =-，1.y x =±AB 的方程()1-=x k y ，()11,y x A ，()22,y x B ，因为34tan =∠AMB ，所以341111122112211=+⋅+++-+x y x y x x ，整理得()()()2121213411342y y x x x x k +++=-，①()1-=x k y 与x y 42=联立可得()0422222=++-k x k x k ，可得121=x x ，24221+=+k x x ，则421-=y y ，代入①可得， ()2214342kx x k ⋅=-， 所以32138k x x =-，所以232238424⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k ，解得33±=k ， 所以1424221=+=+k x x ，所以164196311=-⋅+=AB .17. 【答案】（1）43m =（2）2.53m <<【解析】（1）由925m m --=，得43m =.（2）由题意得，p 与q 同时为真，当p 为真时，920m m ->>，解得03m <<，党q 为真时，350,225mm +><<，解得2.55m <<，当p 真、q 真时，032.55m m <<⎧⎨<<⎩，∴实数m 的取值围是2.53m <<．18. 【答案】(1) (2)()9,6或()4,4-【解析】 (1)设()11,A x y 、()22,B x y ,解方程得1x =或4，∴A 、B 两点的坐标为()1,2-、()4,4,则 PAB S =， 202y -，解得06y =或04y =- ∴点坐标为或.19. 【答案】()2,2⎛+∞ ⎝【解析】由C 与l 相交于两个不同的点，可知方程组2221,1,x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两组不同的解，消去y ，并整理得()22221220,a x a x a -+-=()242210,4810,a a a a ⎧-≠⎪∴⎨+->⎪⎩解得01a a <<≠且，而双曲线C 的离心率e a ==e e >≠且故双曲线C 的离心率e 的取值围为()2,+∞⎝20. 【答案】（1）2p =，t =±（2）直线AB 过定点()5,0【解析】（1）由抛物线的定义得，342p+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，代入点()3,T t ，可解得t =±．（2）设直线AB 的方程为x my n =+，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立24,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩消元得2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，由5OA OB ⋅=，得()21212516y y y y +=，所以1220y y =-或124y y =（舍去）， 即420n -=-，即5n =，所以直线AB 的方程为5x my =+， 所以直线AB 过定点()5,0．21. 【答案】（1）2212y x -=（2）47y x =-【解析】（1）由已知得22,a c ==2221,2a b c a ∴=∴=-=.所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）设点()()1122,,,A x y B x y ，由题意可知直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线C 的方程2212y x -=， 得()()()22222121220kxk k x k ------=，①由题意可知220k -≠，所以()12212222M k k x x x k -+===-，解得4k =． 当4k =时，方程①可化为21456510x x -+=.此时25656512800∆=-⨯=>，方程①有两个不等的实数解． 所以直线l 的方程为47.y x =-22. 【答案】（1）2212x y +=（2）m <≤m ≤<【解析】（1）由题意知22,c e c a ===解得1,a c ==又222a b c -=， 222,1a b ∴==．故椭圆的方程为2212x y +=．（2）联立得220,1,2x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2234220.x mx m ++-=则()221612220m m m ∆=-->⇒<<设()()1122,,,M x y N x y ，则124,3m x x +=-则122.3m y y += ∴MN 中点的坐标为2,33m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为MN 的中点不在圆221x y +=，所以2221335m m m ⎛⎫⎛⎫-+≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或m ≤m ≤m ≤<。