力，属于基础题．
2.平面 α 经过三点 A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平 面 α 的法向量u可以是 ______ （写出一个即可） 【答案】
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（0，1，-1）
【解析】
解：AB=（2，1，1），AC=（3，-1，-1），
设平面 α 的法向量u=（x，y，z），
题．
3.已知AB=（1，0，2），AC=（2，1，1），则平面 ABC 的一个法向
量为 ______ ．
【答案】
（-2，3，1）
【解析】
解：AB=（1，0，2），AC=（2，1，1），
设平面 ABC 的法向量为n=（x，y，z），
{ { 则
n n
⋅ ⋅
AB AC
= =
00，即
x + 2z 2x + y
=
0，
{即
x y
= =
−4z2z，
令 z=1，则 x=-2，y=4，
即m=（-2，4，1），
若向量n与平面 ABC 垂直，
∴向量n∥m，
设n=λm=（-2λ，4λ，λ），
∵|n|= 21，
∴ 21•|λ|= 21，
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即|λ|=1， 解得 λ=±1， ∴n的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1）， 故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1） 根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结 论． 本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平 面的法向量是解决本题的关键．
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【答案】
解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面 PQB，
又∵AD⊂平面 PAD，
∴平面 PQB⊥平面 PAD．
Hale Waihona Puke （2）∵PA=PD=AD，Q 为 AD 的中点，
∴PQ⊥AD，
∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，
{则
u u
⋅ ⋅
AB AC
= =
2x + y + z = 3x−y−z = 0
0，令
z=-1，y=1，x=0．
∴u=（0，1，-1）．
故答案为：（0，1，-1）．
{ 设平面
α
的法向量u=（x，y，z），则
u u
⋅ ⋅
AB AC
= =
2x + y + z = 3x−y−z = 0
0，解出即
可．
本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础
空间向量专题练习
一、填空题(本大题共 4 小题，共 20.0 分)
1.平面 α 的法向量为（1，0，-1），平面 β 的法向量为（0，-1，
1），则平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为 ______ ．
【答案】 π或2π
33
【解析】
解：设平面 α 的法向量为m=（1，0，-1），平面 β 的法向量为n=（0，-
= +
0 z
=
0，取
x=-2，则
z=1，y=3．
∴n=（-2，3，1）．
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故答案为：（-2，3，1）．
{ 设平面
ABC
的法向量为n=（x，y，z），则
n n
⋅ ⋅
AB AC
= =
00，解出即可．
本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础
题．
4.在三角形 ABC 中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），
{∴
−23x
+
3
3y
+
233z
3y = 0
=
0
，∴n1
=
(
3，0，1)，
又∵n2 = (0，0，1)平面 BQC 的一个法向量， ∴cos＜n1，n2＞=12， ∴二面角 M-BQ-C 的大小是 60°．
【解析】
（1）由题设条件推导出 PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到 AD⊥平面
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∴以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角
坐标系，
∵PD=DC=2，点 E 是 PC 的中点，F 在直线 PA 上，
∴PQ⊥平面 ABCD，
以 Q 这坐标原点，分别以 QA，QB，QP 为 x，y，z 轴，
建立如图所求的空间直角坐标系，
由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），
P（0，0， 3），B（0， 3，0），C（-2， 3，0）
∴QM
=
2
3QP
+
13QC=（-23，
3，2 3），
33
设n1是平面 MBQ 的一个法向量，则n1 ⋅ QM = 0，n1 ⋅ QB = 0，
6.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD， PD=DC=2，点 E 是 PC 的中点，F 在直线 PA 上． （1）若 EF⊥PA，求PPAF的值； （2）求二面角 P-BD-E 的大小．
【答案】
解：（1）∵在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥ 底面 ABCD，
若向量n与平面 ABC 垂直，且|n|= 21，则n的坐标为 ______ ．
【答案】
（2，-4，-1）或（-2，4，1）
【解析】
解：设平面 ABC 的法向量为m=（x，y，z），
则m ⋅ AB=0，且m•AC=0，
∵AB=（-1，-1，2），AC=（1，0，2），
{∴
−x−y + 2z x + 2z = 0
二、解答题(本大题共 3 小题，共 36.0 分) 5.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底
面 ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为 AD 的中点． （1）若 PA=PD，求证：平面 PQB⊥平面 PAD； （2）点 M 在线段 PC 上，PM = 13PC，若平面 PAD⊥平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，求二面角 M-BQ-C 的大小．
1，1），
则
cos＜m，n＞=1
×
0
+
0
× (−1) + 2⋅ 2
(−1)
×
1=-12，
∴＜m，n＞=23π．
∵平面 α 与平面 β 所成的角与＜m，n＞相等或互补，
∴α
与
β
所成的角为π或2π．
33
故答案为：π或2π．
33
利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．
本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能
PQB，由此能够证明平面 PQB⊥平面 PAD． （2）以 Q 这坐标原点，分别以 QA，QB，QP 为 x，y，z 轴，建立空间 直角坐标系，利用向量法能求出二面角 M-BQ-C 的大小． 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解 题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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