八上几何模型归纳
“手拉手”模型
O
【例1（1）如图1，若α = 90︒ ，则AC 和BD 的数量关系是 ，AC 和BD 的位置关系是
；
（2）如图2，若α = 60︒ ，AC 和BD 相交于点P ，求证：OP 平分∠BPC ．（3）如图3 所示，则AC 与BD 的数量关系为 ，试用α 表示直线 AC 和BD 所形成的夹 角，则夹角为
．（不写证明）
A
A
A
D
P
C
D
P
D
C
B
C
O B O B
图1
图2
图3
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“帽子”模型常见辅助线做法： ⑴作平行线构造全等
⑵作垂直构造全等
y
【例2A
（2） 如图2，连接AB ，若D (0, -6) ，DE ⊥AB 于点E ，B 、C
关于 y 轴对称，M 是线段 DE 上的一点，且 DM =AB ， 接AM ，试判断线段 A C 与 A M 之间的位置和数量关系，并证明你的结论；
x
（3）
如图 3，在（2）的条件下，若 N 是线段
D
M
上的一个动点，P 连接PN 交 y 轴于点 Q ，过点 N 作NH ⊥ y 轴于点 H ，当 N 点在线段DM 上运动时，△MQH 的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
y x
【例3（1） 如图
1，求△AOB 的面积（2） 如图
2，点 C 在线段 A B 上（不与 A 、B 重合）移动，AB ⊥BD ，且∠COD ＝45°，猜想线段 A C 、BD 、 CD 之间的数量关系并证明你的结论.
（3） 如图
3，若 P 为 x 轴上异于原点 O 和点 A
的一个动点，连接
P B ，将线段
P B 绕点 P 顺时针旋转 90° 至PE ，直线AE 交y 轴于点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中，请判断哪一条线段长为 定值，并求出该定值
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【例4】如图，在△ABC 中，∠ABC = 90︒，AB =BC ，A(-4, 0) ，B(0, 2) ．
（1）如图1，求点C 的坐标．
（2）如图2，BC 交x 轴于点M，AC 交y 轴于点N，且BM =CM ，求证：∠AMB =∠CMN ．
（3）如图3，若点A 不动，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB 为直角边在第一、第二象限作等腰直角三角形△BOF 与等腰直角三角形△ABE ，连接E F 交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP 的长度是否变化？若变化说理由，若不变求其值．
2
【例5】在平面直角坐标系中，，B 为 x 轴正半轴上一动点，AE 、BF 平分∠OAB 、∠OBA ，AE 、BF 交于点
P ．
（1）求∠BPA 的度数；
（2）过P 作PQ ⊥ BF 交
x 轴于点M 交 y 轴于点Q ，求证：∠OFM = 1
；∠OAB
2
（
3）若B 运动到(4, 0) ，点T 为二象限内一点(
2 - 2, 2)
且TA ⊥ TB ，过O 作OS ⊥ BT 于
S ，求S 点坐标．
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x
T x
脚拉脚模型
【例6】（2015 部分学校月考）如图，△ACB 为等腰三角形，∠ABC=90°，点P 在线段B C 上（不与B，C 重合）
，以AP 为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB 与E
（1）求证：△PAB≌△AQE
（2）连C Q 交AB 于M，若P C=2PB，求
PC
BM
A
的值.E C
M
Q P
B
（3）如图2，过Q 作QF⊥AQ 交AB 的延长线于点F，过P 点作DP⊥AP 交AC 于D，连DF，当点P在
线段BC 上运动时（不与B，C 重合，式子
QF -PD
的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化，
FD
【例7】2（1）直接写出A、B、C 各点的坐标：A、B、C
（2）过B 作直线MN⊥AB，P 为线段OC 上的一动点，AP⊥PH 交直线M N 于点H，证明：PA＝PH
（3）在(1)的条件下，若在点A 处有一个等腰R t△APQ 绕点A旋转，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，连接BQ，点G 为BQ 的中点，试猜想线段OG 与线段PG 的数量关系与位置关系，并证明你的结论
【例8（1）如图，若∠OAD = 30︒ ，∠OBC 的度数；
（2）点M 、N 分别是BC 、
AD 的中点，连OM 、ON ，判断OM 、ON 的关系；
（3）在（2）的条件下，连AM 、BN ，取BN 的中点P ，连OP ．当点C 、点D 分别以相同的速度沿着
y
∠MAO + ∠POA
轴、x 轴向原点O 运动过程中，求证：
∠MON
为定值．
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婆罗摩笈多模型
x x
x
【例9AB
⊥y 轴于B ，AC
⊥x 轴于C .
（1）求△AOC 的面积；
，
（2）如图，E 为线段OB 上一点，连AE ，过
A 作AF ⊥AE 交x 轴于F ，连EF ，ED 平分∠OEF 交OA 于y
Ｄ，过D 作DG ⊥EF 于G ，求DG +
1
EF 的值；2
内心直角三角形
x
（3）如图，D 为x 轴上一点，CD＝CA，E 为线段OB 上一动点，连DA、CE，F 是线段CE 的中点，若BF⊥FK 交AD 于K，请问∠KBF 的大小是否变化？若不改变，请求其值；若改变，求出变化的范围.
y
x。