微分方程描述系统的线性判断
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d y(t) 10 y(t) 5 f (t) t 0 dt
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 齐次性和可加性。可以证明：
系统不满足均匀性
系统不具有叠加性
所以此系统为非线性系统。 请看下面证明过程
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证明齐次性
设信号f(t)作用于系统，响应为y(t)
当Af(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar(t) 10Ar(t) 5 Ae(t) dt
原方程两端乘A：
t 0 (1)
A
d r(t dt
)
10r(t
)
5
Ae(t )
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足齐次性
t 0 (2)
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证明可加性
假设有两个输入信号 f1(t)及f2 (t)
所给微分方程式分别有：
d
y1t
dt
10
y1
t
5
f1 t
d
y2 t
dt
10 y2 t 5
f2 t
分别激励系统，则由
t0
(3)
t 0
(4)
当 f1(t) f2(t) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统， 应有
d dt
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ t
y2 t10y1t
y2 t 5
f1 t
f2 t
t0
(5)
(3)+(4)得
d dt
y1 t
y2 t10y1t
y2 t10
f1 t
f2 t
t 0
(6)
(5)、(6)式矛盾，系统不具有可加性
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