专题16 多边形的内角和及平行四边形知识框架重难突破一、多边形的内角和及平行四边形1、多边形（1）多边形的概念：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.（2）多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2 条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．（3）多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.备注：1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.2、平面图形的镶嵌（1）镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．（2）平面图形的镶嵌1）一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；2）两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；3）三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.备注：能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.3、三角形中位线定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4、平行四边形的定义、性质与判定（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）平行四边形的性质：1）平行四边形的对边平行且相等；2）平行四边形的对角相等，邻角互补；3)平行四边形的对角线互相平分；4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．（3）平行四边形的判定：1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．备注：在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线:1）对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；2）对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；3）对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.5：平行线间的距离（1）两条平行线间的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.备注：1）距离是指垂线段的长度，是正值.2）平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.3）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.（2）平行四边形的面积：平行四边形的面积=底×高(等底等高的平行四边形面积相等).例1．（2018·四川省初二期末）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ （A．9B．8C．7D．6【答案】A【解析】详解：.答:这个正多边形的边数是9. 故选A.练习1．（2018·额尔古纳市三河中学初二期末）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】解：设这个多边形的边数为n，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B．例2．（2018·安徽省初二期末）一个三角形，剪去一个角后所得的多边形内角和的度数是（）A．180°B．360°C．540°D．180°或360°【答案】D【解析】剪去一个角，若边数不变，则内角和=∴3-2∴•180°=180°∴若边数增加1，则内角和=∴4-2∴•180°=360°∴所以，所得多边形内角和的度数可能是180°∴360°∴故选D∴（2016·安徽省合肥38中初二期末）一个多边形切去一个角后（形成的另一个多边形的内角和为1080°（练习1．求原多边形的边数（【答案】7∴8或9∴【解析】根据题意有(n∴2)·180°∴1 080°.解得n∴8.因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1∴所以原多边形的边数可能为7∴8或9.例3．（2019·马鞍山秀山实验学校初二期末）只用下列图形不．能．进行平面镶嵌的是（）A．全等的三角形B．全等的四边形C．全等的正五边形D．全等的正六边形【答案】C【解析】解：A项，三角形的内角和是180°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B项，四边形的内角和是360°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C项，正五边形的一个内角的度数为180－360÷5=108，不是360的约数，不能镶嵌平面，符合题意；D项，正六边形的一个内角的度数是180－360÷6=120，是360的约数，能镶嵌平面，不符合题意；故选C.练习1．（2014·贵州省初一期末）一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形【答案】B【解析】∵正三角形、正四边形、正六边形的内角分别为60°、90°、120°，又∵360°-60°-90°-120°=90°， ∴另一个为正四边形， 故选B ．例4．（2019·安徽省初二期末）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A ．邻角互补 B ．对角互补 C ．对边相等 D ．对角线互相平分【答案】B【解析】平行四边形的对角相等、邻角互补、对边相等、对角线互相平分．故选B∴练习1．（2018·安徽省初二期末）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCDB ．AB ＝BCC ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．∠DAB +∠BCD ＝180°【答案】D 【解析】解:四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，//AB CD ∴，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则 AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形ABCD 中，ABC ACD S S ∆∆=，即⨯=⨯BC AE CD AF ，BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确； AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等），故C 正确； 如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确． 故选：D ．例5．（2018·柯坦中学初二期末）在平行四边形ABCD 中，已知5AB =，3BC =，则它的周长为( ) A ．8 B ．10C ．14D ．16【答案】D【解析】解∴∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=5∴AD=BC=3∴∴平行四边形ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=5+3+5+3=16 故选D ．练习1.（2018·河南省初二期末）如图，▱ABCD 中，AB（4（BC（6（AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是( )A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形∴∴DC ∴AB ∴4∴AD ∴BC ∴6∴ ∴AC 的垂直平分线交AD 于点E ∴∴AE ∴CE ∴∴∴CDE 的周长＝DE +CE +DC ∴DE +AE +DC ∴AD +DC ∴6+4∴10∴ 故选C∴例6．（2019·安徽省初二期末）如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝7，EF ＝3，则BC 的长为( )A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】详解∴∵四边形ABCD 是平行四边形∴∴AB =CD =7∴BC =AD ∴AD ∥BC ∴∵BF 平分∠ABC 交AD 于F ∴CE 平分∠BCD 交AD 于E ∴∴∠ABF =∠CBF =∠AFB ∴∠BCE =∠DCE =∠CED ∴∴AB =AF =7∴DC =DE =7∴∴EF =AF +DE ∴AD =7+7∴AD =3∴∴AD =11∴∴BC =11∴ 故选C∴练习1．（2019·安徽省初二期末）如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将ABE △向上翻折，点A 正好落在CD 上的F 处，若FDE 的周长为8，FCB 的周长为22，则FC 的长为__________．【答案】7. 【解析】解：由折叠可得，EF=AE ，BF=AB ． ∵△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22， ∴DF+AD=8，FC+CB+AB=22， ∴平行四边形ABCD 的周长=8+22=30， ∴AB+BC=BF+BC=15，又∵△FCB 的周长=FC+CB+BF=22， ∴CF=22-15=7， 故答案为：7.例7．（2019·安徽省初二期末）如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD AB >，,E F 是AB 边上的点，且12EF AB =；,G H 是BC 边上的点，且13GH BC =，若12,S S 分别表示EOF ∆和GOH ∆的面积，则12:S S =__________．【答案】3：2 【解析】解：∵112AOBS EF SAB，213BOCS GH S BC ， ∴S 1＝12S △AOB ，S 2＝13S △BOC ．∵点O 是▱ABCD 的对角线交点， ∴S △AOB ＝S △BOC ＝14S ▱ABCD ， ∴S 1：S 2＝12：13＝3：2， 故答案为：3：2．练习1．（2020·安徽省初三一模）如图,E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点,AF 与DE 相交于点P,BF 与CE 相交于点Q,若215APD S cm ∆=，225BQC S cm ∆=，则阴影部分的面积为__________2cm ．【答案】40【解析】如图，连接EF∵△ADF与△DEF同底等高，∴SADF =SDEF即SADF −S DPF=SDEF−S DPF，即S APD=S EPF=15cm2，同理可得S BQC=S EFQ=25cm2，∴阴影部分的面积为S EPF+S EFQ=15+25=40cm2.故答案为40.例8．（2019·苏州市吴中区光福中学初二期末）如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)．①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.已知：在四边形ABCD中，____________．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】已知：①③（或①④或②④或③④），证明见解析．【解析】试题解析：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．解法一：已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∥A=∥C，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∥AD∥BC，∥∥A+∥B=180°，∥C+∥D=180°．∥∥A=∥C，∥∥B=∥D．∥四边形ABCD是平行四边形．解法二：已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，④∥B+∥C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∥∥B+∥C=180°，∥AB∥CD，又∥AD∥BC，∥四边形ABCD是平行四边形；解法三：已知：在四边形ABCD中，②AB=CD，④∥B+∥C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∥∥B+∥C=180°，∥AB∥CD，又∥AB=CD，∥四边形ABCD是平行四边形；解法四：已知：在四边形ABCD中，③∥A=∥C，④∥B+∥C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∥∥B+∥C=180°，∥AB∥CD，∥∥A+∥D=180°，又∥∥A=∥C，∥∥B=∥D，∥四边形ABCD是平行四边形．29．（2018·安徽省初二期末）如图，在（ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．【答案】证明见解析.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 是BD 的中点．又∵点E 是边CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，∴OE∥BC，且OE=12BC ． 又∵CF=12BC ，∴OE=CF ． 又∵点F 在BC 的延长线上，∴OE∥CF，∴四边形OCFE 是平行四边形．例9．（2018·安徽省初二单元测试）如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，AE∥AD 交BD 于点E ，CF∥BC 交BD 于点F ，且AE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】见解析.【解析】【分析】证明：∵AD//BC∴∠ADE=∠CBF∵AE⊥AD，CF⊥BC.∴∠DAE=∠BCF=90°在△ADE 和△CBF 中∵∠DAE=∠BCF,∠ADE=∠CBF,AE=CF.∴△ADE≌△CBF(AAS)∴AD=BC∵AD//BC∴四边形ABCD 是平行四边形.练习1．（2019·安徽省初二期末）如图，矩形ABCD 中，E F ，分别是AD BC ，的中点，CE AF ，分别交BD 于G H ，两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）EG FH＝．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=12AD，CF=12BC，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，∵AB∥CD，∴∠EDG=∠FBH，在△DEG和△BFH中DGE BHFEDG FBH DE BF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEG≌△BFH（AAS），∴EG=FH．。