试卷
1. 简述计算流体力学的特点及其应用领域。

CFD 是以计算机作为模拟手段，运用一定的计算技术寻求流体力学各种复杂问题的离散化数值解。

它的主要特征：(1)数值解而不是解析解；(2)计算技术起关键作用；(3)与计算机的发展紧密相关。

（成本较低，适用范围宽，可靠性差，表达困难）应用领域：航空、航天、气象、船舶、武器装备、 水利、化工、建筑、机械、汽车、海洋、体育、环境、卫 生等
2. 等步长网格分布情况下u x
∂∂的一阶向前差分、22u x ∂∂的二阶中心差分表达式。

（P89） 一阶向前差分：1,,,()i j i j i j u u u x x x
+-∂=+O ∆∂∆（） 二阶中心差分：21,,1,2,22
2()()i j i j i j i j u u u u x x x +--+∂=+O ∆∂∆（） 3. 简答题
1) 什么是差分方程的相容性?
差分方程与微分方程的差别是截断误差R 。

必要时通过缩小空间步长（网格尺寸）h 和时间步长t ，这一误差应可缩小至尽可能小。

当h->0和t->0时，若R->0，则差分方程趋于微分方程，表示这两个方程是一致的。

这时称该差分方程与微分方程是相容的。

2) 什么是差分解的收敛性?
当微分方程在离散为差分方程来求解，当步长h 0→时，存在着差分方程的解
n y 能够收敛到微分方程的准确解y()n x ，这就是差分方法的收敛性。

收敛性定义：对于任意节点的0n x x nh =+，如果数值解n y 当h 0→（同时n →∞）时趋向于准确解y()n x ，则称该方法是收敛的。

3) 什么是差分解的稳定性?
数值计算时，除计算机舍入误差（字长有限）外，初始条件或方程中某些常数项
也有可能给的不尽精确。

舍入误差和这些误差在计算过程中可能一步步积累与传
递，误差的传递，有时可能变大，有时可能变小。

某一步舍入误差放大或缩小的
问题，称为差分解的数值稳定性问题。

稳定性定义：对于存在正常数0h 和对于每个0ε>存在一个正常数δ，使得当初值和右端的扰动满足max ()h x I s x σδ∈+<时， 原方程与扰动方程的解对一切满足估计式max ()()h
x I y x y x ε∈-<%，则称该格式是稳定的。

4) 描述收敛性与稳定性关系的Lax 定理，并指出其适用范围。

LAX 等价定理：对适定的线性初值问题来说，如果差分方程与微分相容，则稳定
是收敛的充分必要条件。

其适用范围：仅适用于线性问题。

5) 对于双曲型方程的显式格式，其CFL 条件指的是什么?
双曲型方程显式差分格式收敛的必要条件（CFL 条件）是：差分方程的依赖域必须
包括相应微分方程的依赖域。

（具体表达见纸质版）
6) 常用的离散化方法都有哪些?
（1）有限差分法（2）有限元法（3）有限体积法（4）有限分析法（5）边界元法（6）谱方法
4. 何为问题的适定性? 并说明在计算流体力学研究中，检查物理问题的数学表述是否适定
的重要性?
适定性是指如果偏微分方程的解存在且唯一，解连续地依赖于初始条件和边界条件，则问题是适定的。

其重要性：在试图得到一个数值解之前，检查问题是否适定非常重要。

因为不正确或是不准确的边界条件及初始条件有时也会取得数值解。

5. 网格在CFD 计算中有怎样的作用? 目前比较常用的网格类型都有哪些?
网格是CFD 的几何表达形式，是模拟和分析的载体，其质量对CFD 计算的精度和效率影响很大。

比较常用的网格类型有：（1）结构化网格（六面体网格单元）（2）非结构化网格（四面体，六面体，菱形网格单元）
6. 从差分方程所对应的修正方程出发，论述计算网格以及高精度差分格式对NS 方程数值
求解的重要性。

三维流动无量纲化的N-S 方程可写成：
这里x, y, z分别表示流向、周向和物面法向的坐标，并为了简单，略去了无量纲化的方法和方程中各项及各个符号意义的说明。

ReL是以物体长度L为特征长度的雷诺数。

如果采用m阶精度的差分格式求解无量纲化的N-S方程, 与m阶精度的差分格式等价的修正方程是
式中△x ,△y,△z表示网格间距；O(△xm,△ym,△zm , …)表示截断误差项, 它们是m阶以上的小量。

修正方程可进一步写成：
选择，使其满足
于是：
这样，与m阶精度的差分格式等价的修正方程则可进一步写成：
对于高雷诺数流动, 除非很大, 粘性项的贡献是比较小。

采用差分方法要能正确计算这些小量项的贡献，必须要求截断误差项比粘性项的贡献要小很多。

至此，我们可以看出：
如果所采用的网格和计算格式使α>m，则x方向原本小的粘性项的贡献被落入截断误差范围；同样如果β>m 或者γ>m 时, 则所用网格和差分格式使y方向或z方向原本小的粘性项的贡献被落入截断误差范围。

只有当α,β,γ分别取值小于或远小于m时，所采用网格和差分格式才能比较正确地计入各方向的粘性贡献。

这也进一步表明：当α,β,γ分别取值m时,就可以得出x, y, z方向的临界网格间距△x*,△y*,△z*
其意义是：当实际采用的计算网格△x,△y,△z分别小于或远小于临界网格间距时，x, y, z方向的粘性效应就能被正确计入。

否则，如果某方向所用的网格间距大于该临界网格值时，则该方向的粘性效应可能就落入截断误差的范围。

在很多采用二阶差分格式求解N-S方程的计算中，x, y方向的网格没有达到临界值的要求。

因为z方向的网格，在物面附近采用了压缩技术，在物面附近，相应的γ<m=2，因此物面附近的粘性效应能够被计入。

但是在x, y方向，由于网格基本是接近等距的，相应的α, β都大于m=2，因此这些计算表面上是求解完全的N-S方程，而事实上，其精度仅相当于薄层近似N-S方程的求解。

有些计算，x方向的网格数不满足要求, 但y, z方向满足，此时相当于求解抛物化N-S方程。

鉴于二阶格式求解N-S方程时对网格要求的上述困难，采用高阶格式，可以解决这个矛盾，因此发展高阶精度的差分格式是很有意义的。

1．为什么计算流体力学只能得到真实流场的近似数值解？（10分）
CFD采用数值手段来模拟真实流体的流动，必须进行一定的简化和近似，主要有：数学模型的简化：流体力学的数学模型是真实流动的数学抽象，限于人类的认识水平以及简化计算的母的，在建立数学模型时必然会有存在各种各样的简化和经验近似。

离散格式的近似：在连续介质假设下，流体具有无限的自由度，其控制方程往往是微分方程或积分方程，但是数值计算只能求解有限自由度的代数方程，因此必须将无限自由度的微分或积分方程离散为有限自由度的代数方程，离散过程必然会带来误差迭代过程的近似：CFD通常采用迭代法求解代数方程，迭代法只能是精确解一个良好近似，因此迭代过程必然会带来误差。

由于上述不可避免的误差来源，CFD结果只能得到真实流场的近似解。

2．一个完整的CFD计算包括那些步骤？（10分）
建立数学模型划分网格建立坐标系和向量表达规则数学模型的离散化代数方程的求解计算结果的后处理
3．有限差分法的基本思想是什么？（10分）FD方法的第一步是离散求解域，也就是定义数值网格。

在FDM中，网格是局部结构化的，每个网格节点都可以看作是局部坐标系的原点，网格线则是局部坐标系的坐标线。

同族的网格线两两互不相交。

每一个网格节点都可用一组指标唯一的标定。

差分形式的标量守恒方程(2.1)是FD法的原始方程。

并被近似为以网格节点上的守恒量为未知数的代数方程系统。

代数方程组的解近似为原微分方程的解。

每一个带有未知数的节点都必须有一个代数方程，在节点以及相邻节点上的未知数之间建立联系。

这个代数方程用在接点处用有限差分近似代替偏导数的形式获得。

对于Dirichlet边界条件，边界上不需要代数方程，对于其他边界条件，则必须将边界条件离散以
得到所需的代数方程。

4．有哪些生成二阶导数的差分格式，简述其方法。

（10分）Taylor级数法多项式拟合法有一阶导数的差分格式生成二阶导数
5．有限体积法在离散积分形式方程时有那些步骤？（10分）（1）将计算域划分为小的控制体（2）在小控制体和控制体边界上用数值积分方法将积分方程离散为代数方程（3）将控制体表面的物理量近似成控制点上物理量的插值形式
6．采用Simple方法求解NS方程时采用的压力校正方法有那些步骤，为什么SIMPLE 方法要采用交错网格？（10分）假定压力场利用动量方程得出速度校正方程，求解动量方程得到速度场近似解利用动量校正方程和连续性方程得到压力校正方程，求解后得到压力场的校正量校正压力场和速度场，利用新的压力场和速度场重新进行迭代，直至收敛。

采用交错网格是为了避免出现计算结果的压力交错现象。

二、利用Talyer级数法生成等距网格上的一阶偏导数的四阶精度中心差分格式（提示：以i点为中心节点，利用i-2,i-1,i+1,i+2点的展开式）（20分）。