第22章二次函数单元综合测试一．选择题1．若y＝（m+1）是二次函数，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．以上都不对2．抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）3．下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x2D．y＝4x﹣14．已知二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点为P（m，n），下列说法正确的是（）A．点P可以在任意一个象限内B．点P只能在第四象限C．n可以等于﹣D．n≤﹣15．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣3C．顶点坐标为（﹣3，0）D．当x＜﹣3 时，y随x的增大而减小6．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．58．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m9．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c ＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题11．要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．12．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝．13．二次函数y＝x2+2x﹣4的图象的对称轴是，顶点坐标是．14．一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，则c的取值范围为．15．已知函数y＝x2+bx+2b（b为常数）图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为．16．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若抛物线y＝ax2+2x﹣1 （a≠0）与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是．17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k 的值为．18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x 值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）三．解答题19．已知二次函数的图象的顶点坐本标为（3，﹣2）且与y轴交与（0，）（1）求函数的解析式，并画出它的图象；（2）当x为何值时，y随x增大而增大．20．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），顶点为D．（1）求抛物线L1的函数表达式及顶点D的坐标；（2）将抛物线L1平移后的得到抛物线L2，点A的对应点为A′，点D的对应点为D′，且点A′、D′都在L2上，若四边形AA′D′D为正方形，则抛物线L1应该如何平移？请写出解答过程．21．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，﹣1），求抛物线的函数解析式；（2）若抛物线不过第三象限，求的取值范围；（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．22．已知，点P为二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣2m+1图象的顶点，直线y＝kx+2分别交x轴的负半轴和y轴于点A，点B．（1）若二次函数图象经过点B，求二次函数的解析式；（2）如图，若点A坐标为（﹣4，0），且点P在△AOB内部（不包含边界）．①求m的取值范围；②若点，都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．23．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x （元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…32.5 35 35.5 38 …售价x（元/千克）…27.5 25 24.5 22 …（1）求芒果一天的销售量y与该天售价x之间的一次函数关系式，写出x的取值范围．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？24．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的表达式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP＝3S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：∵y＝（m+1）是二次函数，∴m+1≠0且m2﹣m＝2，解得：m＝2，故选：A．2．解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标为：（2，﹣3）．故选：A．3．解：函数y＝x中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；函数y＝﹣x中，y随x的增大而减小，故选项B符合题意；函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；函数y＝4x﹣1中，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选：B．4．解：二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点P（m，n），∴，，∵a2≥0，∴a2+4≥4，∴，故选：D．5．解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故A、B、C正确，D不正确，故选：D．6．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣（x﹣）2++2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，∴该抛物线的对称轴是直线x＝，开口向下，∴≥1，即m≥2，∴+2m＞0，∴该抛物线的顶点（，+2m）在第一象限，故选：A．7．解：由题意可知，二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象开口向上，经过定点（0，﹣1），最小值为﹣2，则二次函数y＝ax2+bx﹣1 的大致图象如图1所示，函数y＝|ax2+bx﹣1|的图象则是由二次函数y＝ax2+bx﹣1位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，由图2可知，方程|ax2+bx﹣1|＝2 的不相同实数根的个数是3个，故选：B．8．解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，故选：C．9．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．10．解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故此选项错误；②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故此选项错误；④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．故②④⑤正确．故选：B．11．解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向是平移3个单位得到顶点（1，3），即将将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象．故答案为右．12．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，故答案为：10．13．解：∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，∴该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5），故答案为：直线x＝﹣1，（﹣1，﹣5）．14．解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式，得x2﹣2x+2﹣c＝0，△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0，解得：c＝1，②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点，此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5），∴2＜c≤5，综上，c的取值范围是2＜c≤5或c＝1，故答案为2＜c≤5或c＝1．15．解：y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，函数不经过第三象限，则2b≥0，∴b＝0，此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，函数不经过第三象限，则△≤0，∴b2﹣8b≤0，∴0＜b≤8，∴﹣4≤﹣＜0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤0时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4＜b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵0＜b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6，故答案为b＝2或b＝6．16．解：①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，x＝﹣3时，y≤﹣3，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，x＝1时，y≥﹣1，即a≥，点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；故答案为≤a＜或a≤﹣2．17．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB ＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．18．解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x＝﹣＝2，即4a+b ＝0，因此①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①③⑤，故答案为：①③⑤．19．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，将（0，）代入y＝a（x﹣3）2﹣2得，a＝，函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣2，即函数的解析式为y＝x2﹣3x+；画出函数图象如图：．（2）由图象可知，当x＞3时，y随x增大而增大．20．解：（1）∵抛物线L1：y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线L1的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标是（1，4）；（2）作DM⊥x轴于M，D′N⊥DM于N，如图，∵A（﹣1，0），D（1，4），∴AM＝2，DM＝4，在正方形AA′D′D中，AD＝DD′，∠ADD′＝90°，∴∠ADM+∠D′DN＝90°，在Rt△ADM中，∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝∠D′DN，∵∠AMD＝∠D′ND＝90°，∴△ADM≌△DD′N（AAS），∴DN＝AM＝2，D′N＝DM＝4，∴MN＝DM﹣DN＝4﹣2＝2，∴点D′的坐标是（5，2），∴点D到D′是先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到的，∴抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2；同理，当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2也符合题意，综上，当抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2或当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2其对应点构成的四边形AA′D′D为正方形．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵抛物线顶点在x轴上，且过（0，﹣1），∴＝0，c＝﹣1∴＝0，∴﹣1﹣a＝0，解得a＝﹣1，∴b＝﹣2，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线不过第三象限，∴抛物线开口向上，不交于y轴的负半轴，﹣＝﹣1，∴a＞0，c＞0，≥0，b＝2a，∴c≥a，∴≥1；（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线过点（﹣1，﹣1），∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，∵当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，∴x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：4＝a（1+1）2﹣1或﹣4＝a（1+1）2﹣1，解得：a＝或﹣．22．解（1）∵直线y＝kx+2分别交x轴的负半轴和y轴于点A，点B，∴当x＝0时，y＝2，即B（0，2），将B（0，2）代入二次函数得：﹣m2﹣2m+1＝2，解得：m1＝m2＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+3；（2）①将A（﹣4，0）代入y＝kx+2得：﹣4k+2＝0，∴．∴一次函数的解析式为，∵顶点P（m，﹣2m+1），点P在△AOB内部，∴，解得：；②∵二次函数开口朝下，对称轴为x＝m，，又∵点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，点C和点D的横坐标中点为，∴点C离对称轴比点D离对称轴远，开口朝下的抛物线上的点离对称轴越远的点对应的函数值越小，∴y1＜y2．23．解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据代入得：，解得：．∴y＝﹣x+60（15≤x≤40）．（2）由题知m＝y（x﹣10）＝（﹣x+60）（x﹣10）＝﹣x2+70x﹣600，∴当m＝400时，﹣x2+70x﹣600＝400，整理得：x2﹣70x+1000＝0，解得：x1＝20，x2＝50．∵15≤x≤40，∴x＝20．∴这天芒果的售价为20元．24．解：（1）设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴y＝a（x+1）（x﹣3），又∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴a（0+1）（0﹣3）＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∵DC⊥AC，∴∠DCO+∠OCA＝90°，∵OC⊥x轴，∴∠COA＝∠COQ＝90°，∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝∠OAC，∴△QOC∽△COA，∴，即＝，∴OQ＝9，又∵点Q在x轴的正半轴上，∴Q（9，0），设直线QC的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线QC的解析式为：y＝x﹣3，∵点D是抛物线与直线QC的交点，∴，解得，∴点D（，﹣）；（3）存在，理由：如图，点M为直线x＝1上一点，连接AM，PC，P A，设点M（1，y），直线x＝1与x轴交于点E，∴E（1，0），∵A（﹣1，0），∴AE＝2，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，对称轴为x＝1，∴P（1，﹣4），∴PE＝4，则PM＝|y+4|，∵S四边形AEPC＝S四边形OEPC+S△AOC＝×1×（3+4）+×1×3＝5，又∵S四边形AEPC＝S△AEP+S△ACP，S△AEP＝AE×PE＝×2×4＝4，∴S△ACP＝5﹣4＝1，∵S△MAP＝3S△ACP，∴12×2×|y+4|＝2×1，∴|y+4|＝2，∴y1＝﹣1，y2＝﹣7，故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP＝3S△ACP，点M的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣7）．。