高等数学（一）教案 期末总复习 - 2 - 第八章 向量与解析几何

向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示

向量 有大小、有方向. 记作a或AB

a(,,)xyzxyzaiajakaaa

,,xxyyzzaprjaaprjaaprja 模 向量a的模记作a a222xyzaaa

和差 cab cab－ cab

,,xxyyzzababab

单位向量 0a，则aaea

a

e

222

(,,)xyzxyzaaa

aaa

方向余弦 设a与,,xyz轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为cos，cos，cos

cosyxzaaaaaa，cos，cos

cosae(，cos，cos) 222cos1+coscos

点乘（数量积） cosbaba

， 为向量a与b的夹

角 zzyyxxbabababa

叉乘（向量积） bac

sinbac

为向量a与b的夹角

向量c与a，b都垂直 zyx

zyxbbb

aaakjiba

定理与公式 垂直 0abab 0xxyyzzabababab

平行 //0abab //yzxxyzaaaabbbb

交角余弦 两向量夹角余弦babacos 222222

cosxxyyzzxyzxyzabababaaabbb



投影 向量a在非零向量b上的投影 cos()babprjaaabb 222

xxyyzzb

xyz

abababprjabbb



平面 直线 法向量{,,}nABC 点),,(0000zyxM 方向向量{,,}Tmnp 点),,(0000zyxM 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征

一般式 0DCzByAx 一般式 



0022221111DzCyBxADzCyBxA 高等数学（一）教案 期末总复习 - 3 - 点法式 0)()()(000zzCyyBxxA 点向式 pzznyym

xx000

三点式 1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz 参数式 





ptzzntyymtxx

000

截距式 1xyzabc 两点式 000101010

xxyyzz

xxyyzz 面面垂直 0212121CCBBAA 线线垂直 0212121ppnnmm

面面平行 212121CCBBAA 线线平行 21212

1

ppnnm

m

线面垂直 pCnBmA 线面平行 0CpBnAm 点面距离 ),,(0000zyxM 0DCzByAx 面面距离 10AxByCzD 20AxByCzD

222000CBADCzByAxd



 12

222

DDdABC



面面夹角 线线夹角 线面夹角 },,{1111CBAn},,{2222CBAn



},,{1111pnms },,{2222pnms },,{pnms

},,{CBAn

222222212121

212121||cosCBACBACCBBAA

222222212121

212121cospnmpnmppnnmm

222222sinpnmCBACpBnAm

空间曲线：

()() ()xtytzt，，，)(t

切向量 ))(,)(,)((000tttT

切“线”方程：)()()(000000tzztyytxx

法平“面”方程： 0))(()()()()(000000zztyytxxt

()()yxzx



切向量 ))(,)(,1(xxT

切“线”方程：)()(100000xzzxyyxx

法平“面”方程： 0))(()()()(00000zzxyyxxx

空间曲面 ：

0),,(zyxF 法向量 000000000((,,),(,,),(,,))xyz

nFxyzFxyzFxyz 切平“面”方程： 000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xxx

FxyzxxFxyzyyFxyzzz



法“线“方程：

),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx

),(yxfz 0000((,),(,),1)xy

nfxyfxy

 切平“面”方程：

0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 高等数学（一）教案 期末总复习 - 4 - 或

0000((,),(,),1)xy

nfxyfxy



法“线“方程：

1),(),(0000000zzyxfyyyxfxx

yx 第十章 重积分 重积分 积分类型 计算方法 典型例题

二重积分 d,DyxfI

平面薄片的质量

质量=面密度面积

（1） 利用直角坐标系 X—型 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(

Y—型 dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),( （2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()xy, 为实数 )

21

()

()

(cos,sin)(cos,sin)Dfdddfd



02 0 2 （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）

11

0(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)DfxyxfxyfxyIfxydxdyfxyxfxyfxyDD对于是奇函数，即对于是偶函数，

即是的右半部分 计算步骤及注意事项 1． 画出积分区域 2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 高等数学（一）教案 期末总复习 - 5 - 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性

三重积分 

dvzyxfI),,(

空间立体物的质量

质量=密度面积

(1) 利用直角坐标截面法投影法 投影bayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),,(ddd),,(

（2） 利用柱面坐标 cossinxryrzz





相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标

适用范围:

○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()fxyfxz 21

()()(,,)ddd(cos,sin,)dbr

arfxyzVzfz

（3）利用球面坐标 cossincossinsinsincosxryrzr





dvrdrdd2sin 适用范围: ○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，222()fxyz 222111

(,)2

(,)dd(sincos,sinsin,cos)sindIf

（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性