目录一、集合与常用逻辑 二、函数概念与性质 三、基本初等函数 四、函数图像与方程 五、导数及其应用 六、三角函数 七、数 列 八、不等式九、复数与推理证明 十、算法初步 十一、平面向量 十二、立体几何 十三、直线与圆 十四、圆锥曲线 十五、计数原理 十六、概率与统计十七、随机变量的概率分布一、集合与常用逻辑1.集合概念 元素:互异性、无序性 2.集合运算 全集U :如U=R 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集:}{A x U x x A C U ∉∈=且 3.集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注:数形结合---文氏图、数轴 4.四种命题原命题:若p 则q 逆命题:若q 则p 否命题:若p ⌝则q ⌝ 逆否命题:若q ⌝则p ⌝ 原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5.充分必要条件p 是q 的充分条件:q P ⇒p 是q 的必要条件:q P ⇐ p 是q 的充要条件:p ⇔q 6.复合命题的真值①q 真(假)⇔“q ⌝”假(真) ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定M, p(x )否定为: M, )(X p ⌝ M, p(x )否定为:M, )(X p ⌝二、函数概念与性质1.奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注:①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”(公共定义域内) 2.单调性f(x)增函数:x 1<x 2⇒f(x 1)<f(x 2)或x 1>x 2⇒f(x 1) >f(x 2)或0)()(2121>--x x x f x f f(x)减函数:?注:①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3.周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立(常数0≠T)4.二次函数解析式: f(x)=ax 2+bx+c ,f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴:abx 2-= 顶点:)44,2(2a b ac a b --单调性:a>0,]2,(ab--∞递减,),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=,f(x)min a b ac 442-=奇偶性:f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值:配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注:一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0三、基本初等函数1.指数式 )0(10≠=a a n naa1=- m n m na a = 2.对数式b N a =log N a b=⇔(a>0,a ≠1)N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =na ab b n log log =ab log 1=注:性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =,15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =,1ln =e 3.指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性?注:y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称(互为反函数) 4.幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下:α>101<<αα<0四、函数图像与方程1.描点法函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调)取特殊点如零点、最值点等2.图象变换平移:“左加右减,上正下负”)()(hxfyxfy+=→=伸缩:)1()(xfyxfyϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称:“对称谁,谁不变,对称原点都要变”)()()()()()(xfyxfyxfyxfyxfyxfyyx--=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注:)(xfy=ax=→直线)2(xafy-=翻折:→=)(xfy|()|y f x=保留x轴上方部分,并将下方部分沿x轴翻折到上方y=f(x)cba oyxy=|f(x)|cba oyx →=)(xfy(||)y f x=保留y轴右边部分,并将右边部分沿y轴翻折到左边y=f(x)cba oyxy=f(|x|)cba oyx 3.零点定理若0)()(<bfaf,则)(xfy=在),(ba内有零点(条件:)(x f 在],[b a 上图象连续不间断) 注:①)(x f 零点:0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ,0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ?五、导数及其应用1.导数几何意义)(x f 在点x 0处导数)(0'x f :指点x 0处切线斜率2.导数公式0)(='C (C 为常数) 1)(-⋅='n n x n x x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='x x e e =')( x x /1)(ln ='.)('''v u v u ±=± .)('''uv v u uv += .)(''Cu Cu =/⎪⎭⎫ ⎝⎛v u =2''v uv v u - 'x y ='u y .'x u 3.导数应用单调性:如果0)('>x f ,则)(x f 为增函数如果0)('<x f ,则)(x f 为减函数极大值点:在x 0附近)(x f “左增右减↗↘” 极小值点:在x 0附近)(x f “左减右增↘↗”注0)(0'=x f求极值:)(x f 定义域→)('x f →)('x f 零点→列表:x 范围、)('x f 符号、)(x f 增减、)(x f 极值求[a ,b]上最值:)(x f 在(a ,b)内极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较4.三次函数d cx bx ax x f +++=23)( c bx ax x f ++=23)(2/图象特征:“↗↘↗” “↘↗↘”0,0>∆>a 0,0>∆<a极值情况:)(0x f ⇔>∆有极值)(0x f ⇔≤∆无极值5.定积分定理:)()()(a F b F dx x f ba -=⎰其中)()('x f x F = 性质:⎰⎰=ba ba dx x f k dx x kf )()((k 为常数)⎰⎰⎰±=±bab abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(应用:② 直线x =a ,x =b ,x 轴及曲线y =f(x)(f(x)≥0)围成曲边梯形面积⎰=badx x f S )(②如图,曲线y 1=f 1(x),y 2=f 2(x)在[a ,b]上围成图形的面积S =S曲边梯形AMNB-S曲边梯形DMNC=⎰⎰-babadxx f dx x f )()(21六、三角函数1.概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2.弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3.定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan其中),(y x P 是α终边上一点,r PO =4.符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5.诱导公式:“奇变偶不变,符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ,ααπsin )2/cos(-=+ 6.α6π4π 3π 2π π23π sin α21 22 23 11-cos α123 22 21 01- 0tg α0 33 13/ 0 /7.基本公式同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕy=sinxy=cosxy=tanx图象单调性: )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注:Z k ∈ 9.解三角形基本关系:sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sin CB A =+ 正弦定理:A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos A (求边) cos A =bca cb 2222-+(求角)面积公式:S △=21ab sin C 注:ABC ∆中,A+B+C=? B A B A sin sin <⇔<a 2>b 2+c 2 ⇔ ∠A >2π七、数 列1、等差数列定义:d a a n n =-+1 通项:d n a a n )1(1-+= 求和:2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项:2ca b +=(c b a ,,成等差) 性质:若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+2、等比数列定义:)0(1≠=+q q a a nn通项:11-=n n q a a求和:⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项:ac b =2(c b a ,,成等比)性质:若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、不等式1.一元二次不等式解法若0>a ,02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<,则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注:若0<a ,转化为0>a 情况 2.其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >(a >1)⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0(01<<a )3.基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,,则ab ba ≥+2注:用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”4.平面区域与线性规划不等式表示的平面区域判断:①在直线0Ax By C ++=一侧取一个特殊点00(,)x y(通常是原点) ②由00Ax By C ++的正负,判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域注:直线同侧所有点的坐标代入Ax By C ++,得到实数的符号都相同 线性规划问题的一般步骤:①设所求未知数;②列约束条件(不等式组); ③ 立目标函数;④作可行域;⑤求最优解例:设,x y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩求2z x y =+最值当l 过(5,2)A 时,z 最大, 当l 过(1,1)B 时,z 最小九、复数与推理证明1.复数概念复数:bi a z +=(a,b )R ∈,实部a 、虚部b 分类:实数(0=b ),虚数(0≠b ),复数集C注:z 是纯虚数0=⇔a ,0≠b相等:实、虚部分别相等 共轭:bi a z -= 模:22b a z +=2z z z =⋅复平面:复数z 对应的点),(b a 2.复数运算加减:(a+bi )±(c+di)=? 乘法:(a+bi )(c+di )=?除法:di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方:12-=i ,=ni r rk i i =+43.合情推理类比:特殊推出特殊OyxA CB430x y -+=1x = 35250x y +-=归纳:特殊推出一般演绎:一般导出特殊(大前题→小前题→结论)4.直接与间接证明综合法:由因导果比较法:作差—变形—判断—结论反证法:反设—推理—矛盾—结论分析法:执果索因分析法书写格式:要证A为真,只要证B为真,即证……,这只要证C为真,而已知C为真,故A必为真注:常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程5.数学归纳法:(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k∈N* ,k≥1)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立注:用数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用十、算法初步二.基本算法语句及格式1输入语句:INPUT “提示内容”;变量2输出语句:PRINT“提示内容”;表达式3赋值语句:变量=表达式4条件语句“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句 ELSE END IF 语句2 END IF5循环语句当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO循环体 循环体WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”三.算法案例1、求两个数的最大公约数 辗转相除法:到达余数为0更相减损术:到达减数和差相等2、多项式f(x)= a n x n +a n-1x n-1+….+a 1x+a 0的求值秦九韶算法: v 1=a n x+a n -1 v 2=v 1x+a n -2 v 3=v 2x+a n -3 v n =v n -1x+a 0 注:递推公式v 0=a n v k =v k -1X +a n -k (k=1,2,…n)求f(x)值,乘法、加法均最多n 次 3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数:111011.........)(.....a k a k a k a k a a a a n n n n n n +⨯++⨯+⨯=---十进制数转换成k 进制数:“除k 取余法” 例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x 5-5x 4-4x 3+3x 2-6x+7,秦九韶算法求f(5)123=2×48+27 v 0=248=1×27+21 v 1=2×5-5=5 27=1×21+6 v 2=5×5-4=21 21=3×6+3 v 3=21×5+3=1086=2×3+0 v 4=108×5-6=534v 5=534×5+7=2677十一、平面向量1.向量加减 三角形法则,平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接,OC OB -=共始点中点公式:⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点2. 向量数量积 ⋅θcos ⋅=2121y y x x +注:①,夹角:00≤θ≤1800②b a ,同向: b a =⋅3.基本定理 2211e e a λλ+=(21,e e不共线--基底) 平行:⇔b a //λ=⇔1221y x y x =(≠) 垂直:0=⋅⇔⊥02121=+⇔y y x x模:a =22y x + =+=+2)(夹角:=θcos ||||b a ba 注:①0∥a ②()()⋅⋅≠⋅⋅(结合律)不成立③⋅=⋅c b =⇒(消去律)不成立十二、立体几何1.三视图 正视图、侧视图、俯视图2.直观图:斜二测画法'''X OY ∠=450平行X 轴的线段,保平行和长度平行Y 轴的线段,保平行,长度变原来一半 3.体积与侧面积V 柱=S 底h V 锥 =31S 底h V 球=34πR 3S 圆锥侧=rl π S 圆台侧=l r R )(+π S 球表=24R π 4.公理与推论 确定一个平面的条件: ①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线公理:平行于同一条直线的两条直线平行定理:如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。