第11招 如何判断函数的奇偶性？ 判断函数的奇偶性（有的还牵涉三角函数）是高考中常考的知识点，一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例（一） 判断函数奇偶性的方法 1. 定义法这是最常用的方法.其解法步骤如下：（1）确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是，可判断该函数是非奇非偶函数.若是，再按下列步骤继续进行.（2）在定义域内任取x ，以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意：（1）既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0. （2）若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是xxx x f +-∙+=11（ ）. A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数 解(]()()的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想）的定义域为函数得⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=-≤<-≥+-00)(2..1,19,1101122x x x x x x x f f x xx解 当x<0时，-x>0,()()()().)(22x f x x x x x f -=+-=-+--=-∴ 而当x>0时，-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴【例3】2002.北京文三（22）已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b R ∈都满足：()()().a bf b af b a f +=∙(1) 求f(0)、f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.解（1）()()()()()()=∙==∙+∙=∙=111.00000000f f f f f f ()()1111f f ∙+∙()f f ∴=,12（1）=0.（2）f(x)是奇函数.证明如下：()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-∙-=f f f f f f f 而 又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=∙-=-2. 利用定义的等价命题来判断()()()()()().00是偶函数是奇函数；x f x f x f x f x f x f ⇔=--⇔=-+或：当()()()()()()().110是偶函数是奇函数；时，x f x f x f x f x f x f x f ⇔=-⇔-=-≠注意：函数以对数形式或根式形式出现时，可考虑用等价命题来判断.（如例6证二、证三） 【例4】1986.上海理一（15）函数()()R x x x y ∈++=1lg 2 （ ）A ．是奇函数，不是偶函数 B.是偶函数，不是奇函数 C.即不是奇函数，又不是偶函数 D.即是奇函数又是偶函数 解一 ()()()()=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-x x x x x f 1lg 1lg 22()()xx x x x x ++++-+111lg 222=()()()()..1lg 1lg 11lg2122是奇函数x f y x f x x x x xx =∴-=++-=++=++-应选 A.解二 ()()()()()[]=+-+-+++=-+1lg 1lg 22xx x x x f x f ()x x ++1lg 2()x x -+12=lg1=0,()x f ∴是奇函数.故选A3. 若函数图象易于作出，也可利用奇偶函数的图象特征来判断()()x f x f ⇔为奇函数的图象关于原点对称；()()x f x f ⇔为偶函数的图象关于y 轴对称.注意：有时可根据奇、偶函数图象的对称性简化作图过程. 4. 利用奇、偶函数的运算性质来判断（1）奇奇，奇=±偶偶，奇）奇非奇非偶。

（偶偶，奇偶=⨯=±=±2偶偶，偶=⨯奇.奇偶=⨯【例5】1993.全国文理一（8）F （x ）=()()01221≠∙⎪⎭⎫⎝⎛-+x x f x)()(x f x f 不恒等于零，则是偶函数，且 ( ).A. 是奇函数B.是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数解一 ()()()()(),.12121221,01221X F X F x F x F x f x x xx=-∙+-=-+=∴≠-+ ()∙+-=-∴--1212x x x f F ()=-x -()()()..,1212A x f x f x F x x 故选是奇函数则-=∙+-解二 设()()()121212121221,01221-+-=-+=-+=-≠-+=---x x x x x xx g x x g = ()()()()()()..,1221A x f x f x g x F x g x g x 是奇函数，选是偶函数，又是奇函数∴∙=∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-5.由两个函数y=(u),u=g(x)复合而成的复合函数，只要y=f(u)与u=g(x)中有一个是偶函数，其复合函数y=()[]x g f 就是偶函数；只有内、外函数均为奇函数时，复合函数()[]x g f y =才是奇函数.（例，见第35招例2）. （二） 函数奇偶性定义和性质的逆用由于函数奇偶性的定义和性质其实是充要条件，因此当已知一个函数式奇函数或偶函数时，也可利用定义或性质来解题（如求函数解析式、函数值、参数取值等）. 【例6】试证函数()111122+++-++=x x x x x f 的图象关于原点对称.证一 从而均有或还是而不论,0,000,122≥+=<>=>+x x x x x x x x()()..011,0122∞+∞-≠+++∴>++，的定义域是对称区间则x f x x x x当x=0时，()(),0010011001022f f ==+++-++=-而当()()()()()=+-++-+∙+++-++=≠1111111102222x x x x x x x x x f x 时，()()(),1111112222222xx x x xx -+=+-+--+()()()().,111122是奇函数x f x f xx xx x f ∴-=-+-=--+-=-因此函数f(x)的图象关于原点对称.证二 ()()()=+++-++÷+-+--+=-≠≠11111111.002222x x x x x x x x x f x f x f x时，()()()()()x f xxx x x x x x x x x x x x ∴-=-=--++-+=-+++++∙+-+--+,1221111111111112222222222是奇函数.则f(x)的图象关于原点对称.说明：要判断一个定义域包含原点的函数f(x)是否为奇函数时，一定要先检验是否有f(0)=0.如果f(0)≠0，则f(x)肯定不是奇函数。

如果f(0)=0.再检验x 0≠时是否有f(-x)=-f(x).【例7】2000.上海文、理一（8）设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图2-6所示的线段AB ，则在区间[1,2]上，f(x)=______.解一 依题意得：当x (),1x 221.2]1,0[-≤-≤-≤≤∴+-=∈时，当时，x x x f 0()()()的偶函数，是周期为又20.222.12x f x x x f x =++--=+-∴≤+-≤ ()()()().21.2x x f x x x f x f x f =≤≤=+-=-=∴时，因此当解二 （数形结合法） ()()，上的图象是线段在是偶函数，AC x f x f ]0,1[-∴ ()的函数，是周期为又2f x ()].2,1[.)(72]2,1[∈=-∴x x x f BD x f ），于是得（如图上的图象时线段在说明：要求哪一区间的解析式就把自变量x 设在这一区间，再利用奇偶性，周期性等题设条件将其转换到已知函数解析式的那个区间山去解决.【例8】1996.全国文理一（15）设f(x)是()()()当上的奇函数，,2,x f x f -=++∞∞-()()等于则时，5.7,10f x x f x =≤≤ （ ）A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5解一 由已f(x)是()()()()()5.55.7,2,f f x f x f -=∴-=++∞∞-上的奇函数，且=()()()()()()因此时，,5.05.0,10.5.05.05.105.=∴=≤≤-=-=-=f x x f x f f f ff(7.5)=-0.5.解二 （数形结合法） ()()称，又的图象关于原点中心对是奇函数，x f y x f =∴()()()()[]()()()x f y x f x f x f x f x f x f =-=--=+-=+∴-=+即函数11211,2的图象关于直线x=1轴对称.又当()()x f y x x f x =∴=≤≤,10时，的图象如图2-8所示，于是f(7.5)=-0.5.解三 ()()()()()2,2+-=∴-=+x f x f x f x f x f 是奇函数，又()[]()44+=+--=x f x f ，可见f(x)是周期函数，T=4是它的一个周期.()()则时，当时，当,)(01,)(10x x x f x f x x x f x =--=--=≤≤-∴=≤≤ ()()().5.05.05.0425.7-=-=-⨯=f f f自我检测111. 判断函数f(x)=()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-010001x x x x x 的奇偶性.2. 判断函数f(x)=11log 2+-x x 的奇偶性.3.1990.广东文一卷（16）如果函数y=(a+1)x-(a-2)x 2是奇函数，那么a 的值等于（ ） A.-2 B.-1 C.2 D.14.1994.上海试点校文二（16）已知f(x)(x ，）（是奇函数，05)≠∈f R 则下列各点中，在y=f(x)图象上的点是 （ ）A.（5，f(-5)）B.(-5,-f(5))C.(-5,f(5))D.(5,-f(5))5.2002.上海春文理一（4）设f(x)是定义在R 上的奇函数，若当()则时，,1log )(03x x f x +=≥f(-2)=______.6.已知f(x)=x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∙a x121是偶函数，求a 的值. 答案与提示1.奇2.奇 提示：利用等价命题3.C4.B 提示：图象关于原点对称5.-1 提示：x<0时-x>0,f(x)=-f(-x)=log ()x -136.21提示：利用f(-x)=f(x)。