概率论与数理统计总复习第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。

对立事件：A B =Ω且AB =Φ 即A B B ==Ω-差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件切记：()A B AB A AB AB B -==-=-2. 概率的性质 单调性：若BA ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-加法定理：)()()()(AB P B P A P B A P -+=)()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=)()()(ABC P CA P BC P +--例1 设,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ⊃⊃=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。

解：()()()P A C P A P AC -=-()()P A P C =- （AC C =）故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-=由此 ()()()P AB C P AB P ABC -=-()()P AB P C =- （ABC C =）0.50.30.2=-=注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质计算。

3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式全概率公式1()()(/)ni i i P A P B P A B ==∑贝叶斯公式（求事后概率）例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。

解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中故;)/()()(A B P A P AB P =()(/)(/)()i i i P B P A B P B A P A =2()()(|)kkk P B P A P B A ==∑201102244224012222666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002334242012222666631(|)(|)(|)151515C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4()0.1625P B ==4. 事件的独立性A 与B 独立→P (AB )=P (A )P (B ) → P (B/A )= P (B )A 与B 互不相容→ AB=φ→ P (A ∪B )=P (A )+P (B )注：n （>2）个事件两两独立与相互独立的区别！例3若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则P (A )P (B )=____第二、三章 随机变量及其分布1. 5中常见分布及其对应模型和相互关系；2. 联合分布函数、边缘分布函数、联合分布律、边缘分布律、联合概率密度、边缘概率密度之间的关系；3. 随机变量落在某区间（域）的概率 ()(),()()x X X x P X x f t dt P X x f t dt +∞-∞≤=≥=⎰⎰5.随机变量函数的分布1） 公式法{(,)}(,)GP X Y G f x y d σ∈=⎰⎰()(,)()()()(,)()()X Y i i X Y X Y X Y P X Y k P X i Y k i P X i p Y k i f z f x z x dx f x f z x dx +∞+∞+-∞-∞⎧+====-===-⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩∑∑⎰⎰与独立与独立[()](),()0,X Y f h y h y y f y αβ'⎧⋅<<=⎨⎩其他()()()y g x X x h y f x ==⇒2） 分布函数法注意画图分段讨论 6.随机变量的独立性 若 X 、Y 相互独立⇔ ⇔(,)()()X Y F x y F x F y =试考虑其它等价条件注：若 X 、Y 相互独立()()()E XY E X E Y ⇒= 反之不成立。

见习题四 21例4 设X,Y 联合概率密度如下，问它们是否相互独立8,01(,)0,xy x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它 解：X,Y 的边缘概率密度为1284(1),01f ()(,)0x X xydy x x x x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它同理(){(,)}Z F z P g X Y z =≤⇒()()Z Z f z F z '={,}{}{}P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤30Y 84,01f ()(,)0yxydx y y y f x y dx +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠ 故不相互独立 例5设随机变量X 与Y 相互独立, 其概率密度分别为求随机变量Z=X+Y 的概率密度函数f Z (z ).解其中D 如图，则1,01,()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他.2,01,()0,Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他.()()()Z X Y f z f x f z x dx+∞-∞=-⎰01(,)01x D x z z x ⎧⎫≤≤⎪⎪=⎨⎬≤-≤⎪⎪⎩⎭201210,02,()2(),01,2()2,1 2.z Z z z z f z z x dx z z z x dx z z z -⎧<>⎪⎪⎪=-=≤≤⎨⎪⎪-=-≤≤⎪⎩⎰⎰或第四章随机变脸的数字特征1. 期望与方差的意义期望：随机变量取值的集中点；方差：随机变量取值离集中点的偏离程度2. 熟记5种常见分布的期望与方差3. 随机变量的函数的期望（定理4.1.1，定理）4. 利用期望与方差的性质求期望与方差（涉及随机变量的分解）例6民航机场的送客汽车载有20名乘客，从机场开出，乘客可以在10个车站下车，如果到达某一站时无顾客下车，则不停车，设随机变量X表示停车次数，假定每个乘客在各站下车都是等可能的，求平均停车次数。

解：设i X 为汽车在第(1,2,,10)i i =站停车次数，则1,0i X ⎧=⎨⎩该站有乘客下车，无乘客下车 因每个乘客在每站下车等可能，故2020209(i ){0}10i P P X ====第站无人下车（0.9） 所以2020X (1,1(0.9)),(X )1(0.9)i i B E -=-，而110X X X =++故201()()10[1(0.9)]n i i E X E X ===-∑ 5.协方差的计算与相关系数的实际意义 1）随机变量相互独立则他们不相关2）对二维正态随机变量，不相关等价于相互独立 例，随机变量X, Y 均是正态随机变量，他们不相关，问 他们时候独立。

6．多维正态随机变量的性质(P118)解 令 U =X +Y, V=X －Y(1) E(U )= E(X)+E(Y )=3μ； D(U )= D(X)+D (Y )=2σ2；E(V )= E(X ) － E(Y )=μ；D(V )= D(X ) + D(Y )=2σ2故（2）E [(X +Y ) (X －Y )]= E(X 2 )－E(Y 2 ) = D (X ) +E (X ) 2 －D (Y )－E (Y )2 = 3μ2例， 且相互独立.(1)写出随机变量(X +Y )与(X －Y )的概率密度 (2)求随机变量(X +Y )与(X －Y )的相关系数ρ；(3)随机变量(X +Y )与(X －Y )是否相互独立),2(~2σμN X ),(~2σμNY 2222(3)(3)22411(),z z U f z eez Rμμσσ----⨯==∈2222()()22411(),z z V f z eez Rμμσσ----⨯==∈()()()0UVE UV E U E V ρρ-===1111U X V Y ⎛⎫⎡⎤⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎝⎭因为Ｘ,Ｙ是相互独立的正态分布，所以(X ,Y )是二维正态分布，从而(U ,V )也是二维正态分布.由二维正态分布的性质和(2)，可知X +Y 与X -Y 相互独立． 例（习题四，21）设随机变量22(,)(1,3;0,4;1/2)X Y N -，设32X YZ =+，试求（1) Z 的数学期望与方差； （2) X 与Z 的相关系数XZ ρ； （3) 问X 与Z 是否相互独立。

解：（1）111()()()()32323X Y E Z E E X E Y =+=+=11()()()()53294X Y D Z D D X D Y =+=+=（2）1cov(,)*3*462XYX Y ρ==-=-而cov(,)cov(,)3211()cov(,)032X YX Z X D X X Y =+=+= 故0XZ ρ=（3）因（X,Y ）是二维正态随机变量，X, Z 均是X,Y 的线性组合，故(X,Z)也是二维正态随机变量，而他们不相关 故独立。

第五章1. 切比雪夫不等式：注：切比雪夫不等式只能粗略估计概率，一般除题目特殊说明不能使用。

2.中心极限定理注意是极限运算，要注意打不等号例 随机抽查验收产品, 如果在一批产品中查出10个以上的次品, 则拒绝接收.问至少检查多少个产品, 能保证次品率为 10%的一批产品被拒收的概率不低于解 设检查的产品数为 n , 查出的次品数为X , 则X ~2{|)| }D X P XE X εε-≥≤()(2{|| } 1.D X P X E X εε-<≥-()()或者1221()()()n n k k X E X P x x x x ⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤<≈Φ-Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑B ( n , , 按题意, 有P { 10＜X ≤n }≥由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有 P { 10＜X ≤n }于是故即求解得 n ≥ 或 n ≤－，所以至少取 n = 147 能够保证要求.0.1100.1n n n --≈Φ-Φ100.1n -=Φ-Φ100.1{10}1n P X n -<≤≈-Φ0.110()n -=Φ0.1100.9n -Φ≥0.110 1.28n -≥。