者是风险追求.
211 密封拍卖 与风险中性的情况类似 , 投标人根据自己对物
品的估价 v 选择投标策略函数 b ( v) 最大化其期望 收益 π( v , b) = ( v - b ( v) ) αFn- 1 ( b- 1 ( b ( v) ) ) , 即 maxπ( v , b) = ( v - b ( v) ) αFn- 1 ( b- 1 ( b ( v) ) ) 等 价
者的最优投标价高于其成本估计 , 投标者有正的期 望利润.
由上可知在拍卖问题中 , 投标人的投标价随投 标人数的增加递增 ;在采购招标中 ,投标价随投标人 数的增加递减.
2 常相对风险效用函数
测度个人对待风险的态度的最常用的指标是
Arrow - Pratt 绝 对 风 险 厌 恶 系 数 rA ( x) = u″( x) / u′( x) 和 相 对 风 险 厌 恶 系 数 rR ( x) = xu″( x) / u′( x) . 常相对风险的效用函数 (CRRA) 是
b( v)
示原理投标者只需要诚实地报告自己的类型 (价值 估价 v) , 即 v 是极值问题 max ( v - b ( s) ) Fn- 1 ( s)
s ∈[ a , b]
的最优解 ,最优化的一阶条件对化为相同的常微分 方程的初值问题 b′( v) = ( n - 1) [ f ( x) / F ( v) ] ( v b ( v) ) ,初值 b ( v) = v.
1 风险中性投标人投标策略的显式 解
111 拍卖问题 求解风险中性的投标人的对称独立私人价值第
一价格密封拍卖的最优投标策略通常有 4 种方法 , 前两种方法都是化为常微分方程初值问题如下 :
风险中性投标人最优投标的数学模型是根据自 己对物品的估价 v 选择投标策略函数 b ( v) 最大化 其期望收益max( v - b ( v) ) Fn- 1 ( v) 或由博弈论的显
由最优化的一阶条件可得 : - u′( v - b ( v) ) b′( v) Fn- 1 ( v) + ( n - 1) u ( v -
b ( v) ) Fn- 2 ( v) f ( v) = 0 整理得常微分方程初值问题 b′( v) = ( n - 1) [ f ( x) / F ( v) ] u ( v -
12 2 重 庆 交 通 学 院 学 报 第 25 卷
rR ( x) = - xu″( x) / u′( x) = 1 - α, u ( x) = xα(0 <
α < + ∞) ,当 0 < α < 1 时投标者是风险厌恶 ,当α = 1 时 ,投标者是风险中性 ,当 1 < α < + ∞时 ,投标
由于 b ( v) = v ,因此π( v) = 0. 对上式两边从 v
v
∫ 到 v 积分得π = Fn- 1 ( s) ds ,由 π的表达式π = ( v v
- b ( v) ) Fn- 1 ( v) , 最 优 投 标 策 略 为 b ( v) = v -
v
∫Fn- 1 ( s) ds/ Fn- 1 ( v) ,容易验证二阶条件也成立. 投 v
b ( v) ) / u′( v - b ( v) ) ,
b ( v) = 0. 类似地 , 一个采购或招标方有一个土木工程施 工项目 (如一段公路或一座桥梁) 向社会公开招标 并确定最低报价中标 (本文不考虑综合评标问题) , 设有 n 个施工单位 (简记为投标人) 拟投标竞争该 项目 ,投标人 i 对该项目的成本估计是 vi 投标人的 私人信息 ,投标人自己知道但其他人只知道 vi 是区 间上 具 有 相 同 的 正 概 率 密 度 f ( x) 、分 布 函 数 为 F( x) 的随机变量 , 并且是所有投标人和卖者的共 同知识. 设投标人 i 的投标策略 bi ( v) = b ( v) . 与拍 卖类似 , 可知 b ( v) 是下面常微分方程终值问题的 解: b′( v) = ( n - 1) [ f ( x) / [1 - F ( v) ] u ( b ( v) v) / u′( b ( v) - v) ) b (珋v) = 0. 由于拍卖文献中很少给出招标采购问题的投标 策略 ,但招标采购又是如此普遍 ,所以本文首先给出 风险中性投标人在拍卖和采购招标问题中投标策略 的显式解 ,然后是常相对风险和常绝对风险效用函 数投标人的显式解 , 第四部分是另一类常用的效用 函数的相应结果 , 这些结论对拍卖的理论和实践有 显著意义 ,最后是结论.
考虑单个不可分物品的 n 个对称投标人的第一 价格密封拍卖 , 设卖者的保留价为 v 3 , n 个投标人 有相同的效用函数 u ( x) ( x 为投标人的净收入) , 不 失一般性可正规化使 u (0) = 0 , u ( x) 是 x 的单调非 减且具有二阶连续的导数. 每一个投标人知道物品 对自己的私人价值 v ,但其他投标人及卖者只知道 v 是区间 [ v , v ] 上具正概率密度 f ( x) 、分布函数为 F( x) 的相互独立的随机变量 , 并且是所有投标人 和卖者的共同知识.
Ξ 收稿日期 :2004210213 作者简介 :李建章 (1963 - ) ,男 ,重庆铜梁人 ,副教授 ,从事博弈论与信息经济学和交通运输系统工程的教土木工程招投标中的均衡投标策略 12 1
中获得的期望效用 , 即 max u ( v - b ( s) ) Fn- 1 ( s) . s ∈[ a , b]
标者的最优投标价低于其估价 , 因此投标者有正的 期望利润. 112 采购招标问题
投标人根据自己对物品的成本估价选择投标策 略函数 b ( v) 最大化其期望净收益π( v , b) = ( b ( v) - v) (1 - F ( b- 1 ( v) ) ) n- 1 ,即maxπ( v , b) = π( v , b)
包含介于两者中间的模型 ,其结构较为复杂. 本文研究第一价格密封拍卖和采购招标 (这是
土木工程招标的主要方式) 中投标人的最优投标策 略. 一般情况下这种显示投标策略是求不出来的 ,对 于一般的分布 ,目前只有风险中性的对称的投标人 在独立私人价值和关联价值下的投标策略有显示 解 ,对于风险厌恶和风险追求还没有一般解. 本文考 虑具有常绝对风险厌恶系数和常相对风险厌恶系数 的两类常用的但特殊的效用函数及对数形式的效用 函数得到了对称独立私人价值的第一价格密封拍卖 和密封招标中贝叶斯纳什均衡投标策略.
摘要 :笔者在文中给出了独立私人价值下风险中性 、常相对风险和常绝对风险 (包括风险厌恶 ,风险中性和风险追 求) 及对数效用函数的投标人在第一价格密封拍卖和最低价格中标的采购招标中的均衡投标策略. 关 键 词 :第一价格密封拍卖 ;土木工程招投标 ;投标策略 ;贝叶斯纳什均衡 ;常相对风险 ;常绝对风险 中图分类号 :F06214 ;F03116 文献标识码 :B 文章编号 :10012716X(2006) 0120120205
b( v)
= ( b ( v) - v) (1 - F( b- 1 ( b ( v) ) ) n- 1 , 其中 v 看作 参数 ,最大化的一阶条件是 , 9π/ 9b = 0 ,因此 :
dπ/ dv = 9π/ 9v + 9π/ 9b ( 9b/ 9v) = 9π/ 9v = - (1 - F( b- 1 ( b ( v) ) ) n- 1 = - (1 - F( v) ) n- 1 , 由 于 b ( v) = v ,π( v) = 0 ,对上式两边从 v 到 v 积分得
对于风险中性的投标人的对称独立私人价值拍 卖由于收入等价性定理成立 , 第三种方法就是使用
收入等价性导出投标人的最优投标策略 ,详见 Paul , Klemperer[2 ] .
第四种方法是使用包络定理[2] , 推导过程特别 简洁且易于移植到采购招标 ,本文给出详细过程 ,对 于 拍 卖 问 题 可 见 于 Preston , Mcafee and John , Mcmilliam[7] ,投标人根据自己对物品的估价 v 选择 投标策略 b ( v) 最大化其期望收益 π( v , b) = ( v b ( v) ) Fn- 1 ( b- 1 ( b ( v) ) ) , 即 maxπ( v , b) = ( v -
b( v)
于 ,maxπ′= π1/α( v , b) = ( v - b ( v) ) F( n- 1) /α b( v)
拍卖和招标是市场交易的常见方式 ,随着现代 电子信息技术特别是互联网的发展 ,网上拍卖和网 上采购招标的市场交易形式将会越来越普遍并将会 更加深刻地影响和改变人们的生产和生活方式.
常见的拍卖方式有 4 种 :英国式拍卖 、荷兰式拍 卖 、第一价格密封拍卖和第二价格密封拍卖[2 ,3 ,7 ] . 自从 1996 年 Nobel 经济学奖获得者 William1Vickrey 在 1961 年的开创性论文之后 、特别是 1980 年以后 , 拍卖的理论研究如雨后春笋直到现在仍然方兴未 艾 ,拍卖的理论和实践的研究是信息经济学和博弈 论非常重要的课题. 拍卖理论的主要内容有最优拍 卖设计 ,各种拍卖方式的有效性和收益比较以及各 种拍卖中投标人的最优投标策略. 拍卖通常是指多 个有意向购买某种物品的买方向单个的卖方通过竞 争的方式产生交易. 采购招标实际上是拍卖的另一 种形式 ,它是指多个卖方向单个的买方出售物品 、技 术 、劳务或服务等. 拍卖有私人价值 、共同价值和更 一般的关联价值模型. 私人价值模型是指每个投标 人知道标的物对自己的价值而其他人不知道 ,并且 即使每个投标人知道了别人的价值估计也不会改变 自己的价值估计. 共同价值模型是指标的物对所有 竞买人的价值是相同的 ,但是没有人知道其准确数 值 ,每个投标人有一个与该共同价值有关的信息 ,当 一个投标人知道了别人的价值估计后可能会改变或 修改自己原来的估计 ,比如采矿权拍卖就属于这一 类. 关联价值拍卖是由 Paul1Milgrom 和 Robert1Weber[4] 在他们 1982 年的著名的文章中引入的 ,它既可以包 含私人价值模型也可以包含共同价值模型 ,还可以