例 1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如图所示。

已知：水面高程z0=3m,压差计各水银面的高程分别为z1=0.03m, z 2=0.18m, z 3=0.04m, z 4=0.20m,水银密度ρ13600kg / m3，水的密度ρ 1000kg / m3。

试求水面的相对压强p0。

解：p0γ(z0 z1 ) γ'( z2z1) γ'(z4z3 ) p ap0γ'(z2z1 z4z3 ) γ(z0 z1 )例 2：用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。

该微压计是一个水平倾角为θ的Π形管。

已知测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm，倾角θ=30 °，试求压强差p1– p2。

解：p1γ(z3z1 )γ(z4z2 ) p2p1p2γ(z3z4 )γL sinθ例 3：用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示）。

两个U形管的工作液体为水银，密度为ρ2，其连接管充以酒精，密度为ρ 1 。

如果水银面的高度读数为z1、 z 2、 z 3、z4，试求压强差p A– p B。

解：点 1 的压强： p A点2的压强： p2p Aγ2( z2z1 )点 3的压强： p3 p Aγ2( z2z1 )γ1( z2 z3 )p4p Aγ2( z2z1 ) γ1(z2z3 ) γ2( z4z3 ) p Bp A p Bγ2(z2 z1 z4z3 ) γ1( z2z3 )例 4：用离心铸造机铸造车轮。

求A-A 面上的液体总压力。

解：p 1 2r2gz C p 1 2r2gz p a22在界面 A-A 上： Z = - hp 1 2r2gh p a F( p p a ) 2 rdr 21 2 R41ghR2R2082例 5：在一直径 d = 300mm，而高度 H= 500mm的园柱形容器中注水至高度h1 = 300mm，使容器绕垂直轴作等角速度旋转。

如图所示。

(1) 试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转数n1；(2)求抛物面顶端碰到容器底时的转数 n2，此时容器停止旋转后水面高度 h2将为多少？解： (1)由于容器旋转前后，水的体积不变( 亦即容器中空气的体积不变 ) ，有：图1d 2L1 d 2 (H h1 )424L 2( H h1 ) 400 mm0.4 m在 xoz 坐标系中，自由表面2 r 2 1 的方程：z02g对于容器边缘上的点，有：d0.15m z0 r22gz0 2 9.80.4 r 20.152∵ 2 n / 60L0.4m18.67( rad / s)n1606018.672178.3 (r / min)2(2) 当抛物面顶端碰到容器底部时，这时原容器中的水将被甩出一部分，液面为图中2所指。

在 x o z 坐标系中：2r 2自由表面 2 的方程：z02 gd当r 0.15m时, z0 H 0.5m 22gz0 2 9.80.520.87(rad / s)r 20.152n260ω60 20.87π2199.3(r / min)π2这时，有：1d 2H1d 2 ( H h2 )424Hh2HH h2250mm22例 6：已知：一块平板宽为 B ，长为 L, 倾角，顶端与水面平齐。

求：总压力及作用点。

解：总压力：Fγh c A γL sinθLB 2压力中心 D：方法一： dM ydF yγy sin θdAL3M γsin θ y2 dA2 Bdyγsin θB Lγsin θ yA03M Fy D y D M / F 2 L3Jcx L 1 BL3L L方法二：y D y c12y c A2L BL262例 7：如图，已知一平板，长L, 宽 B, 安装于斜壁面上，可绕 A 转动。

已知L,B,L 1, θ。

求：启动平板闸门所需的提升力F。

解：f 11γL sin θBL22Lf 2 γL 1 sin θBLFL cosf 1 3 Lf22F1 2 f 1 1 f 2cos32例 8：平板 A B, 可绕 A 转动。

长 L=2m,宽 b=1m,θ=60°， H 1=1.2m,H 2=3m 为保证平板不能自转，求自重 G 。

解：F 1H 1bH 18153 NF 2L sin θ 16986 NγγbL2 sin θ2F 3 γ(H 2 L sin θ)bL 24870 NG Lcos θ F 1 L 1 H 1F 2 2 LF 3L23 sin θ3 2G 69954 N例 9：与水平面成45°倾角的矩形闸门 AB( 图 1) ，宽 1m ，左侧水深h 1 = 3m ，右侧水深 h 2 = 2m ，试用图解法求作用在闸门上的静水总压 图 1力的大小和作用点。

解：如图 2 所示，作出闸门两侧的静水压强分布图，并将其合成。

AEh 1 h 2 11414. (m)sin 45° sin 45°EBh 2 2 2.828(m)sin 45° sin 45°P 11 b1(h 1h 2 ) AE b1 9.8 (3 2) 1.414 1 6.93( KN )22AD 12AE21.4140.943 (m)33P2 2 b(h1 h2 )BE b9.8 (3 2) 2.828 1 27.71( KN )ED2111414. (m) EB 2.82822AD2AE ED2 1414.1414. 2.828( m)静水总压力：P P1P2 6.93 27.7134.64( KN )设合力的作用点 D 距 A 点的距离为l ，则由合力矩定理：P l P1AD1P2AD2P1AD1P2AD2 6.930.943 27.71 2.828 lP 2.45 m34.64即，静水总压力的作用点 D 距 A 点的距离为 2.45m。

例 10：如图，一挡水弧形闸门，宽度为b（垂直于黑板） , 圆心角为θ，半径为 R，水面与绞轴平齐。

试求静水压力的水平分量F x与铅垂分量 F z。

F x 1解：γ Rsinθ bR sinθ2压力体如图所示：F zγb θπR21R sin θ R cosθ2π2例 11：一球形容器由两个半球铆接而成( 如图 1所示 ) ，铆钉有 n 个，内盛重度为的液体，求每一铆钉所受的拉力。

解：如图 2 所示，建立坐标系xoyz取球形容器的上半球面ABC作为研究对象，显然由于ABC在 yoz 平面上的两个投影面大小相等、方向相反，故x 方向上的静水总压力P x0 ；同理 P y0 。

即： ABC仅受铅垂方向的静水总压力P z V P而： V P V园柱V半球R 2 ( R H )1 4 R 3 R2 (R H )2 R 32 33图 2R 2( R H2R)R 2 (HR )33故： P Z V PR 2R ( H) 方向铅垂向上， 即3铆钉受拉力。

每一铆钉 所 受 的拉力为：F ZP Z 1 R 2( HR )nn3第三章例 1：已知 u = － (y+t2) ， v =x+t ， w =0 。

求 t=2 ，经过点（ 0， 0）的流线方程。

解： t=2 时， u = － (y+4) ， v =x+2 ， w =0流线微分方程：dx dy ( y 4)x 21(x 2)21( y 4)2c22流线过点（ 0， 0） ∴ c=10流线方程为：(x+2)2+(y+4) 2=20例 2：已知某流场中流速分布为： u = -x ， v = 2y ，w = 5-z 。

求通过点 (x,y,z)=(2,4,1)的流线方程。

解： 流线微分方程为：dxdy dzdx dy dz uvwx2 y5 zdx 1 d (2y) d (5 z) x2 2 y5 zdx 1 d ( 2y)x22 y dx d (5 z)x5 z由上述两式分别积分，并整理得： x y c 1①xc 2 z 5c 2即流线为曲面x y c 1 和平面 x c 2 z 5c 20 的交线。

将 ( x, y, z)(2,4,1) 代入①可确定 c 1和 c 2 ：c1 4，c21 2故通过点 (2,4,1)的流线方程为：x y42x z 5 0例 3. 求小孔出流的流量：解：如图，对断面0-0 和断面 1-1 列伯努利方程，不计能量损失，有：z0p0α0V02z1p aα1V12γ2gγ2gV1 2 g z0z12gh QμV1 AμA 2gh 上式中：A为小孔的面积， A 为1-1断面的面积。

例 4. 用文丘里流量计测定管道中的流量：解：如图，在1-1 及 2-2断面列伯努利方程，不计能量损失有：z1p1α1V12z2p2α2V22由于：V1 A1 V2 A2γ2gγ2g故：V221 A22z1p1z2p22g A12γγ又p1γz1z3p2γz2z4γz4z3z1p1z2p2γ1 z4z3z2p2ρ1 z4 z3γγγγρV221A22ρ 1h2g A12ρρ ρ 1 2g hμV 2 A 2V 22Q1 A2 A 1：考虑能量损失及其它因素所加的系数。

<1。

例 5：输气管入口，已知：ρ’ =1000kg/m 3，ρ =1.25kg/m 3， d = 0.4m ，h = 30mm 。

求：Q = ?解：对 0— 0 和 1— 1 断面列伯努利方程， 不计损失， 有：z 0 p a z 1p 1 α1V 1 2γγ 2g又因为：α1 1.0,z 0 z 1,p 1 γhp aV 1γ2ghρ2gh 21.784m / sγ ρQ V 1 πd 22.737m 3 / s4例 6：如图，已知： V 1 、 A 1 、 A 2 ； θ；相对压强 p 1 ；且管轴线在水平面内，试确定水流对弯管的作用力。

解：对 1-1 及 2-2 断面列伯努利方程，不计水头损失，有：p 1 V 12 p 2 V 22 γ 2gγ 且： Q V 1 A 1 V 2 A 22g可求出： V 2和 p 2。

在 x 方向列动量方程，有：F x p 1 A 1 p 2 A 2 cos θ ρQ (V 2 cos θ V 1 )F x p 1 A 1 p 2 A 2 cos θ ρQ(V 2 cos θ V 1 )在 y 方向列动量方程，有：F y p 2 A 2 sin θ ρQV 2 sin θF y p 2 A 2 sin θ ρQV 2 sin θ例 7：水渠中闸门的宽度 B = 3.4m 。

闸门上、下游水深分别为h 1 = 2.5m, h 2 = 0.8m,求：固定闸门应该施加的水平力F 。

解：对 1-1 及 2-2 断面列伯努利方程，不计水头损失，有：h 1p a V 12 p a V 22 h 2γ又： Q V 1h 1B V 2h 2 Bγ 2g2g以上两式联解，可得：V 1 1.95m / s,V 2 6.095m / s所以： Q V 1h 1B16.575m 3 / s在水平方向列动量方程，有：Fh 1h 1Bh 2(V 1 )2 2 h 2 BQ V 2FB 22 ρQ (V 2 V 1 )故：F24812 N 。