探究特殊四边形的存在性问题
例2 (2018· 南充)如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交
于点A、B. (1)求抛物线的解析式； (2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等， 求点Q的坐标； (3)若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC
的垂线段，垂足分别为点D、E，是否存在点M、N，使四边形MNED为正方形？
3 3 解：(1)二次函数的表达式为 y＝－ x2－ x＋6； 4 2 1 (2)由 A(－ 4，0)， E(0 ，－2) ，可求 AE 所在直线解析式为 y＝－ x－ 2，过点 D 作 2 DN⊥x 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为点 H，如解 3 3 1 图，设 D(m，－ m2－ m＋6)，则点 F(m，－ m－2)， 4 2 2 3 3 1 3 ∴DF＝－ m2－ m＋6－(－ m－2)＝－ m2－m＋8， 4 2 2 4 1 1 ∴S△ADE＝S△ADF＋S△EDF＝ DF· AG＋ DF· EH 2 2 1 1 3 ＝ ×DF×(AG＋EH)＝ ×4×DF＝2×(－ m2－m＋8) 2 2 4 3 2 50 2 50 ＝－ (m＋ )2＋ ，∴当 m＝－ 时，△ADE 的面积取得最大值为 ； 2 3 3 3 3 (3)P 点的坐标为(－1，1)或(－ 1， 11)或(－ 1，－ 11)或(－ 1，－2＋ 19)或( －1， －2－ 19)．
3 3 解：(1)该抛物线的解析式为 y＝－ x2＋ x＋3； 8 4 (2)设运动时间为 t 秒，则 AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t， 由题意得，点 C 的坐标为(0，3)，在 Rt△BOC 中，BC＝ 32＋42＝5， 如解图①，过点 N 作 NH⊥AB 于点 H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC， HN BN 3 ∴ ＝ ，即 ，∴HN＝ t， OC BC 5 1 1 3 9 9 ∴S＝ MB· HN＝ (6－3t)× t＝－ t2＋ t＝ 2 2 5 10 5 9 9 － (t－1)2＋ (0<t<2)， 10 10 9 9 ∵－ <0，∴当 t＝1 时，S 最大＝ ， 图① 10 10 9 ∴点 M 运动 1 秒时△MBN 的面积最大，最大面积是 ； 10
(3)存在某一时刻 t，使△MBN 为直角三角形，如解图②， OB 4 在 Rt△OBC 中，cos∠B＝ ＝ ， BC 5 设运动时间为 t 秒，则 AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t， BN 4 4 当∠MNB＝90° 时，cos∠B＝ ＝ ，即 ＝ ， MB 5 5 24 化简，得 17t＝24，解得 t＝ ； 17 4 当∠BMN＝90° 时，cos∠B＝ ＝ ， 5 30 化简，得 19t＝30，解得 t＝ . 图② 19 24 30 综上所述，当 t＝ 或 t＝ 时，△MBN 为直角三角形． 17 19
(3)存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形，如解图②，过点 M 作 MF∥y 轴，过点 N 作 NF∥x 轴，过点 N 作 NH∥y 轴，则有△MNF 与△NEH 都 为等腰直角三角形．设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线 MN 解析式为 y＝－x ＋b，联立得 消去 y 得 x2－3x＋b－3＝0， ∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b， ∵△MNF 为等腰直角三角形， ∴MN2＝2NF2＝42－8b， 1 ∵NH2＝(b－3)2，∴NE2＝ (b－3)2，若四边形 2 1 MNED 为正方形，则有 NE2 ＝MN2，∴ 42－8b＝ (b2－6b＋9)，整理得 b2 2 ＋10b－75＝0，解得 b＝－15 或 b＝5，∵正方形边长为 MN＝ 42－8b， ∴MN＝9 2或 2.
3 6 解：(1)该抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3；(2)M(－ ，－ )； 5 5 (3)存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑： 设 Q(x，0)，P(m，m2－2m－3)， 当四边形 BCQP 为平行四边形时，由 B(－1，0)，C(0，－3)，根据平移规律 得：－1＋x＝0＋m，0＋0＝－3＋m2－2m－3，解得：m＝1± 7，x＝2± 7， 当 m＝1＋ 7时，m2－2m－3＝8＋2 7－2－2 7－3＝3，即 P(1＋ 7，3)； 当 m＝1－ 7时，m2－2m－3＝8－2 7－2＋2 7－3＝3，即 P(1－ 7，3)； 当四边形 BCPQ 为平行四边形，由 B(－1，0)，C(0，－3)， 根据平移规律得：－1＋m＝0＋x，0＋m2－2m－3＝－3＋0， 解得：m＝0 或 2，当 m＝0 时，P(0，－3)(舍去)；当 m＝2 时，P(2，－3)， 综上，存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，P 的坐标为 (1＋ 7，3)或(1－ 7，3)或(2，－3)．
2. (2018· 眉山)如图①，已知抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c的图象经过点A(0，3)、 B(1，0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C， ∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横 坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时， 四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使 △POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有 符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【方法指导】探究特殊四边形的存在性问题时，具体方法如下： (1)假设结论成立；
(2)探究特殊四边形通常有两类：
第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究特殊四边形的边或对角线画出符 合题意的特殊四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的 线段为探究特殊四边形的边或对角线画出符合题意的特殊四边形； (3)建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可 以利用特殊四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直 角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析 式联立方程组，由方程组的解为交点坐标求解．
解：(1)抛物线的解析式 y＝x2－4x＋3； (2) 如解图，设 P(m，m2－4m＋3)， ∵OE 平分∠AOB，∠AOB＝90° ，∴∠AOE＝45° ， ∴△AOE 是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3，∴E(3，3)， 易得 OE 的解析式为 y＝x，过点 P 作 PG∥y 轴，交 OE 于点 G， ∴G(m，m)，∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3，∴S 四边形 AOPE＝S△AOE 1 1 9 1 3 15m ＋S△ POE ＝ ×3×3＋ PG· AE＝ ＋ ×3×(－m2＋5m－3)＝－ m2 ＋ ＝ 2 2 2 2 2 2 3 5 75 3 5 75 － (m－ )2＋ ，∵－ ＜0，∴当 m＝ 时，S 有最大值是 ； 2 2 8 2 2 8 5＋1 5＋ 5 5－ 5 1－ 5 3＋ 5 1－ 5 (3)点 P 的坐标是( ， ) 或( ， )或( ， )或 2 2 2 2 2 2 3－ 5 1＋ 5 ( ， )． 2 2
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax ＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)、
2
B(4，0)两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA. (1)试求抛物线的解析式； (2)直线y＝kx＋1(k>0)与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于
【方法指导】探究特殊三角形的存在性问题 (1)假设结论成立； (2)找关系：①在直角三角形中，当所给直角未说明时，可以将所求三角形的
三个角分别设为直角分类进行讨论；②在等腰三角形中，当所给定长未说明时， 需分情况讨论： Ⅰ.当定长为腰时，则找直线或抛物线上的点与定长的一个端
点的距离相等，该点即为符合条件的点； Ⅱ.当定长为底边时，则找出定长的
垂直平分线，若与直线或抛物线有交点，则交点即为所求的点；若无交点，则
满足条件的点不存在；
(3)计算：①利用相似三角形求解；②图形中没有相似三角形，可以通过添加 辅助线构造相似三角形；③利用特殊三角形的性质进行求解．
[对应训练] 1. (2017· 内江)如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与 y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 坐标为(4，0)，抛物 线的对称轴方程为 x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点 运动，同时点 N 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度 向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值； (3)在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t， 使△MBN 为直角三角形？若存在，求出 t 值； 若不存在，请说明理由．
【分析】(1)由题意将已知点代入二次函数中，列方程组求解即可；
(2)先求出直线AE所在直线的解析式，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴 于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为点H，设出点D的坐标，表示出△ADE的面 积，利用二次函数分析最值即可；
(3)由题意可设出点P的坐标，分别表示出PA、PE、AE的长度，再分为PA＝PE， PA＝AE，PE＝AE三种情况分析讨论即可．
设出直线MN的解析式，与二次函数解析式联立，求得关于x的一元二次方程，
利用根与系数的关系、等腰直角三角形与正方形的性质，求出b的值，进而得Biblioteka 出MN的长，即为正方形的边长．
解：(1)抛物线解析式为 y＝－x2＋2x＋3； (2)由 B(3，0)，C(0，3)，得到直线 BC 解析式为 y＝－x＋3.∵S△PBC＝S△QBC，∴PQ∥BC， ①过点 P 作 PQ1∥BC，交抛物线于点 Q1， 如解图①， ∵P(1，4)，∴直线 PQ1 解析式为 y＝－x＋5， 联立直线 PQ 与抛物线的解析式得，Q1(2，3)； ②设 G(1，2)，∴PG＝GH＝2， 过点 H 作直线 Q2Q3∥BC，交 x 轴于点 H， 则直线 Q2Q3 解析式为 y＝－x＋1， 3－ 17 联立直线 Q2Q3 与抛物线的解析式得， Q2( ， 2 －1＋ 17 3＋ 17 －1－ 17 )，Q3( ， )； 2 2 2