中考复习资料 线段和的最值问题
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求线段和（差）的最值问题
【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对
称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和
大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短
一、已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
（2）点A、B在直线同侧：
A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：
P
m
A
B
m
A
B
m
A
B
P
m
A
B
A'
n
m
A
B
Q
P
n
m
A
B
P'
Q'
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（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得
围成的四边形ADEB周长最短.
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上
求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
m
A
B
Q
P
n
m
A
B
B'
Q
P
n
m
A
B
B'
A'
n
m
A
B
m
n
A
B
E
D
m
n
A
B
A'
B'
m
n
A
P
Q
m
n
A
A"
A'
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二、一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动：
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
m
n
A
P
m
n
A
B
m
n
A
P
m
n
A
A'
B
m
O
A
P'
P
m
O
B
A
B'
m
O
A
P
m
O
A
B
A'
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三、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,
在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：
过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左移动PQ长，即为P
点，此时P、Q即为所求的点。
（2）点A、B在直线m同侧：
四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
（2）点A、B在直线m异侧：
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
m
B
A
m
A
B
m
A
B
B'
P
P'
m
B
A
P'P
m
A
B
B'
E
Q
P
m
A
B
Q
P
m
A
B
Q
P
m
A
B
C
Q
P
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一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建，借用线段公理求解
例1 （湖北荆门）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠
AMN
＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )
A 2 B C 1 D 2
解析：PA+PB的线段之和最小值求法的依据是“平面几何中，两点之间线段最
短”的数学模型与原理，故可作B 关于MN的对称点是H，连接AH交MN于点P，
AH的长就是PA+PB的线段之和的最小值，借助圆圆周角定理，可知根据∠AOH
＝
90°，巧妙构造Rt△OAH，根据题意运用勾股定理可求出AH=，所以PA+PB的
最小值为故选B。
点评：本题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用，解决本题的关键做出
点B或A关于MN的对称点，然后利用线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短,
并借助圆心角和圆周角的关系，构造直角三角形运用勾股定理计算最小值来解决
问题．不管在什么背景图中，有关线段之和的最短问题，常化归与转化为线段公
理“两点之间，线段最短”。而化归与转化的方法大都是借助于“轴对称点”。
例2 圆锥底面半径为10cm，高为10cm，
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（1） 求圆锥的表面积；
（2） 若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且
SM=3AM，求它所走的最短距离。
思路点拨：利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线
长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧
面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A到M的最短距离（即AM的长）。
解析：（1）圆锥的母线长SA=，圆锥侧面展开图扇形的
弧长，侧 ，S底=，
∴S表= S底+ S侧= 。
（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM的长就
是蚂蚁所走的最短距离，由（1）知，弧AA′= ，
，又SA′= AS=，SM=3A′M，∴SM=，∴
在Rt⊿ASM中， ，所以蚂蚁所走的最短
距离是50cm.
点评：对于立体图形中要计算圆锥曲面上两点之间的最短距离，一般把立体的
圆锥的侧面展开成扇形，转化为平面图形借助线段公理计算。将立体图形转化为
平面图形是初中阶段常用的基本方法与思想。