错误!
2０１2-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
一、(共3０分，每小题6分)完成下列各题:
（1）设4R 空间中的向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23121α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32232α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=78013α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=43234α,⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=30475α
Span V =1{}321,,ααα，Span V =2
{}54,αα,分别求21V V +和21V V 的维数.
解:=A {}54321,,,,ααααα⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--→000004100030110
202
01 21V V +和21V V 的维数为３和１
（２） 设()T
i i 11-=α,()T
i i 11-=β是酉空间中两向量，求内积()βα,
及它们的长度（i =）. (0, 2， 2);
（３）求矩阵⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A 的满秩分解. 解：⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
--
--→0000747510737201
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=775211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡
----747
510737201* (4)设-λ矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++=2)1(0000
00
)1()(λλλλλA ,求)(λA 的Sm ｉth 标准形及其行列式因子.
解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++→2111λλλλ
(5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α,定义 *
H
x x α=,验证x 是向量
范数．
二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=021110111A ， （1）（5分)求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分)求T 的核)(T N 的维数及一组基.
解：（１）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-021110111,,321εεε 线性变换Ｔ的值域为T(V)= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V)的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++
（2)矩阵Ａ的核为AX=０的解空间。

不难求得AX=0的基础解系是[2, -1， 1]T , 因此)(A N 的维数为1, 基为3212εεε+-.
三、(８分）求矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=66
0606
066A 的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵．
解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=66
0606
066
A =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
-
2213
3332*316
20
316
121316121
四、(8分)设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=0111021i i A ,求矩阵范数1A ，∞A ，2A ，F A .（这里12-=i ).
解：{}1max 2,3,1,13A ==，（２分）
{}max 3,44A ∞== ，
（2分) 1
2
42
211F
A ij j i a ===⎛⎫∑∑ ⎪⎝⎭
()12
1141113=+++++= (2分)
1120110H
i i A
⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
， 6113H
AA
-⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
(2分) 2
6
1
9171
3
H
E AA λλλλλ-=
=-+--
1,2λ=
=
2
A
⇒
=
(2分）
五、（共２4分，每小题8分)证明题:
（1)设A 是正定H ｅr ｍite 矩阵，B 是反Ｈｅrmit ｅ矩阵，证明B A +是可逆矩阵． (2）设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是Ｈermite 矩阵的充要条件是A 的特征值为实
数.
(3)若1A <，证明A E +为非奇异矩阵,且A
A E -≤
+-11
)(1，这里A 是诱导范数.
六、（共20分,每小题5分)设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=213111213A ,
（1） 求A E -λ的Smit ｈ标准形（写出具体步骤); （2） 求A 的初等因子、最小多项式及Ｊordan 标准形J ； （3） 求相似变换矩阵P 及其逆矩阵阵1-P ； （4） 求)sin(At ． 解
A E -λ()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→2111λλ，
初等因子λ,()21-λ；最小多项式()2
1-λλ; Jor ｄａｎ标准⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1110
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112101111P ，⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-11101110
11P )sin(At ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--+---+=t t t t
t t t t t t t t t t t
t t t t cos sin cos cos sin 2sin sin sin cos sin cos cos sin 2。