（1）（2）（3）（4）人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题第一部分 函数及其表示知识点一：函数的基本概念1、函数的概念：一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：A x x f y ∈=，)(。
x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。
说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。
③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等5、分段函数：说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。
②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。
6、函数图像 练习1.2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．xxy y ==,1B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ． 2)(|,|x y x y ==3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
A 、（1）（2）（4）B 、（4）（2）（3）C 、（4）（1）（3）D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ）①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →-④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方其中是A 到B 的映射的是A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____6.设函数⎩⎨⎧<+≥-=101102)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f =7.设函数⎩⎨⎧<-≥-=5352)(2x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。
8.函数()1,3,x f x x +⎧=⎨-+⎩1,1,x x ≤>则()()4f f = ．9.下列各组函数是同一函数的有 ①()f x =()g x =()f x x =与()g x =③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
10.作出函数(]6,3,762∈+-=x x x y 的图象知识点二：函数定义域的求法 （一）简单函数定义域1.若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；2.若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；3.若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；4.若f(x)=0x ，因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
5.若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；6.若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 （二）复合函数定义域1.若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．2.若已知复合函数[()]f g x 的定义域为[,]a b ，其()f x 的定义域为)(x g 在[a,b]上的取值范围． 练习： 1.函数xx x f -=1)(的定义域是（ ）A 、 ),1(+∞B 、)0,1(-C 、)1,1(-D 、)1,(-∞ 2.函数y x=的定义域为（ ）A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-3.已知函数23212---=x x xy 的定义域为（ ）A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞ D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 4.函数)(x f 的定义域是（0，8），则)1(2-x f 的定义域是（ ）A 、 （1，3）B 、 （-3，-1）C 、 （1，8）D 、 （1，3）∪（-3，-1） 5.函数)12(+x f 的定义域是[1，4]，则)(x f 的定义域是（ ） A 、 [3，4] B 、 [1，4] C 、 [3，9] D 、 [7，9]6.函数0y =_____________________。
7.求下列函数的定义域（1）y = （2）11122--+-=x x x y知识点三、函数解析式的常用求法：1、换元法；2、待定系数法；3、消去法练习：1.设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ．12+x x2.已知 21)1(x xx f -=，则)(x f 的解析式是3.已知x xf x f 3)1(2)(=+，则)(x f 的解析式是4.已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 5.已知f(x)满足2()()1f x f x x --=+，求f(x)的解析式.6. 若)(x f 是一次函数，且满足()()3121217,f x f x x +--=+求()f x ．7.函数)(x f 是二次函数，且2)0(=f ，1)()1(-=-+x x f x f ，求)(x f 的解析式。
知识点四、函数值域的常用求法：1、分离常数法；2、配方法；3、判别式法；4、换元法 练习1.下列四个函数：①3y x =-；②211y x =+；③2210y x x =+-；④(0)1(0)x x y x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.其中值域为R 的函数有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 选用合适的方法下列函数的值域（1）234-+=x x y （2）x x y -+=14 （3）12222+++-=x x y x x（4）22211x y x -=+ （5）3422+-=x x y （6）x x y --=213.求函数[)246(15)y x x x =-+∈，的值域4.求函数132222+-+-=x x x x y 的值域.第二部分 函数的单调性一、 知识点回顾 1、概念设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数.区间D 称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．．．．；必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1、x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) .2、图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法： ①定义法，任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；作差f(x 1)-f(x 2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负）；下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）. ②图象法(从图象上看升降)；③复合函数的单调性，复合函数f\[g(x)\]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：（同增异减）. ④常用结论。
A 、两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；B 、一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；C 、互为反函数的两个函数具有相同的单调性； 4、基本初等函数的单调性. 解：①正比例函数：y=kx(k≠0)当k>0时，函数y=kx 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx 在定义域R 上是减函数. ②一次函数：y=kx+b(k≠0)当k>0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是减函数.③反比例函数：y=x k(k≠0) 当k>0时，函数y=x k 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=xk的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.④二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0)当a>0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是(-∞,a b 2-］，单调递增区间是［ab 2-,+∞)；当a<0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是［a b 2-,+∞)，单调递增区间是(-∞,ab2-］.知识点练习1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)2．若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先减后增 D ．无法判断3．已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a <b 时，都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的根( ) A ．有且只有一个 B ．可能有两个 C ．至多有一个 D ．有两个以上 4．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a ) 5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) X k b 1 . c o m①y ＝|x |； ②y ＝|x |x ； ③y ＝－x 2|x |； ④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 6．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定 8.函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( )A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )9.下列四个函数：①y ＝x x －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x1－x＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．①B ．④C ．①④D ．①②④10.函数y ＝－bx在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．11.函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________．12.函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．13.若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．14.函数f(x)=x 2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a 的值.15.（1）画出已知函数f(x)=-x 2+2x+3的图象；（2）证明函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；（3）当函数f(x)在区间(-∞,m ］上是增函数时，求实数m 的取值范围.16.已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．17.设函数y ＝f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．。