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► 探究点二 天体质量和密度的估算问题
1．已知环绕天体的周期 T 和半径 r，求中心天体的质量、密度 由 GMr2m＝m4Tπ22r 可知： M＝4GπT2r23.设中心天体的半径为 R，则 V ＝43πR3，其密度为 ρ＝MV ，联立解得 ρ＝G3Tπ2rR3 3. 若测得中心天体的近表卫星周期 T，此时 r＝R，则中心天体的平均
等.
k

a3 T2
周期定律
k值与中心天体有关，而与环绕天体无关
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知识回顾
万有引力定律
公式： F

G
Mm r2
其中引力常量 G＝6.67×10－11N·m2/ kg2
适用条件：适用于质点或均匀球体之间，其中r为质 点间、球心间或质点与球心间的距离
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3．求解天体问题的一般思路
（1）由万有引力提供向心力 有：GMr2m＝ma＝ mvr2＝ mrω2 ＝ mr（ 2Tπ）2，解
专题三 力与曲线运动
——天体运动
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知识回顾
开普勒三定律
1.所有行星都分别在大小不同的椭 圆轨道上围绕太阳运动，太阳是在
b
行星
太阳
a
这些椭圆的一个焦点上; 轨道定律
v
2.对每个行星来说，太阳和行星 的连线在相等的时间扫过相等的
面积; 面积定律
3.所有行星的轨道的半长轴的三次 方跟公转周期的二次方的比值都相
密度为 ρ＝G3Tπ2.可见只需要测得中心天体近表卫星的周期，就可以得到 中心天体的密度．
2．在星球表面附近，重力近似等于万有引力，即 mg＝GMRm2 ，可 求得星球质量 M＝gGR2，或星球表面的重力加速度 g＝GRM2 .
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例 2 [2011·福建卷] “嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的 先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近 圆形轨道运行的周期 T，已知引力常量为 G，半径为 R 的球体体积公式
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例 1 [2011·广东卷]已知地球质量为 M，半径为 R，自转周期为 T， 地球同步卫星质量为 m，引力常量为 G.有关同步卫星，下列表述正确的 是( BD )
3 A．卫星距地面的高度为
GMT2 4π2
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为
Mm G R2
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
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2．近地卫星：当人造地球卫星在近地轨道上运行时，轨道半径近 似等于地球的半径 R，近地卫星的运行速度即地球的第一宇宙速度．
(1) GMRm2 ＝mRv21，解得 v1＝ GRM＝7.9 km/s (2)卫星刚好绕地球表面运动，重力近似等于万有引力，mg＝mRv21， 解得 v1＝ gR＝7.9 km/s. 3．极地轨道卫星：绕地球做圆周运动的卫星在运行过程中通过两 极正上方．由于地球自转，极地卫星并不是沿同一经度线的上方运行．
V＝34πR3，则可估算月球的( A )
A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期
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例 2 A 【解析】 由 GMRm2 ＝m2Tπ2R，M＝ρV，V＝43πR3，联立 解得 ρ＝G3Tπ2，已知周期 T，就可求密度 ρ，A 正确．
【点评】 本题根据月球的近表卫星的周期，可求得月球的密度 ρ ＝G3Tπ2，因月球半径未知，不能确定月球的质量．同理，如果知道中心 天体的密度，可求得中心天体的近表卫星周期，见下面的变式题．
(2)物体在地球表面附近受到的重力近似等于万有引力，mg＝GMRm2 (R 为地球 半径)．在地球质量未知的情况下，可应用 GM＝gR2 转换．
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要点热点探究
► 探究点一 同步卫星、近地卫星与极地卫星问题
1．地球轨道同步卫星 (1)同步卫星位于赤道正上方，轨道平面与赤道平面共面； (2)同步卫星的轨道半径一定，距离地球表面的高度一定， 约36000 km； (3)同步卫星的运行周期和地球的自转周期相同，T＝24 h， 且转动方向相同； (4)所有地球轨道同步卫星的半径、线速度大小、角速度大小 及周期都相同．
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[2011·北京卷] 一物体静置在平均密度为 ρ 的球形天体表
面的赤道上．已知引力常量为 G，若由于天体自转使物体对天体表面压
D 力恰好为零，则天体自转周期为( )
A.
4π 3Gρ
B.
3 4πGρ
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[2011·山东卷] 甲、乙为两颗地球卫星，其中甲 为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星 轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( AC )
A．甲的周期大于乙的周期 B．乙的速度大于第一宇宙速度 C．甲的加速度小于乙的加速度 D．甲在运行时能经过北极的正上方
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例 1 变式题 AC 【解析】 由 a＝GrM2 、v＝ GrM、ω＝ GrM3 、 T＝2π GrM3 可知：轨道半径 r 越大，a、v、ω 越小，而 T 越大，故 A、 C 对，B 错；地球同步卫星只能在赤道上空运行，不可能经过北极的正 上方，D 错．
得：a＝GrM2 、v＝
GrM、ω＝
GM r3
、T＝2π
r3 GM
以上表达式中，M 为中心天体的质量，m 是绕行天体的质量．由以上关系
可以看出，当轨道半径 r 增大时，a、v、ω 减小，而 T 增大，且与绕行天体 的质量无关．一旦轨道半径 r 确定，则 a、v、ω、T 的大小也确定．例如所 有地球同步卫星的 r、v、ω、T、a 大小均相等．
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例 1 BD 【解析】 同步卫星绕地球做匀速圆周运动的过程中万 有引力提供向心力，设卫星距离地面的高度为 h，由 GRM＋mh2＝m4Tπ22(R
3 ＋h)，可以得到 h＝G4MπT2 2－R，故选项 A 错误；卫星运行受到的向
心力由万有引力充当，即 F 向＝GRM＋mh2，选项 C 错误；第一宇宙速度 为近地卫星的环绕速度，由 GMr2m＝mvr2＝ma，得卫星运行速度 v＝
GrM、卫星运行的向心加速度 a＝GrM2 ，可见当卫星绕行半径 r 增大时， v 与 a 都要减小，所以 B、D 选项正确．
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【点评】 解答地球轨道同步卫星问题时，应关注同步卫 星的轨道总在地球赤道正上方、运行周期与地球自转周期相 同且转动方向相同、轨道半径相同等要点．下面的变式题综 合考查地球自转、近地卫星和地球轨道同步卫星的运动问 题．